NÉE COQ
dans lesquelles B représente l’un quelconque des deux angles obliques.
22. Lorsque À = 90°, on a cos A 0, et l’expression (g) devient
cosa — cos b.cos c
sinb.siuc d'où
cos a — cos b.cos c — 0, cos æ = cosb.cos c.
Eau rétablissant le rayon, la dernière égalité devient
R.cos a — cosb.cosc , ce qui est la même chose que la proportion
R : cosb :: cosc : cos a.
Ainsi, « dans tout triangle sphériquerectangle, le rayon est au cosinus d’un des côtés de l’angle droit, comme le cosinus de l’autre côté est au cosinus de l’hypothénuse.»
Deux des côtés d’un triangle sphérique rectangle
étant donnés, on peut donc toujours déterminer le troisième.
23. Si dans légalité cosa = cosb.cosc nous substituons la valeur de cosc,
cosc — cosa.cos b + sin a.sin b.cos C
tirée de la troisième des expressions (y), nous obtiendrons
cosa = cos a.cos b+sina.sin b.cos c.cos C ce qui donne, en transposant cos a.cos'b , (1—cos’b) cosa — sina.sinb.cos b.cos C et, en divisant par sina.sinb,
—cos’b).
(Rene —= cosb. cos C
siu a.sin b
à cosa Or, 1—cos"b — sin°b et — — = cota , ainsi cette dersina uière égalité se réduit à sin b.cota — cosb.cos C, ce que l’on peut mettre sous la forme
sinb cos
cos C cota ?
d'où enfin,
tang b — tang a.cos C.
En rendant cette égalité homogène, elle devient
R.tangb = tang a.cos C, et donne la proportion R : cosC :: tanga : tangb,
c’est-à-dire, « dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est au cosious d’un angle oblique comme la tangente de l'hypothénuse est à la tangente du côté adjacent à cet angle.
24. On déduirait par des procédés semblables trois autres principes nécessaires pour la résolution des triangles sphériques et dont voici les énoncés :
1° Le sinus d’un angle oblique est au cosiaus de l’autre angle oblique comme le rayon est au cosinus du côté opposé à cet autre angle oblique.
2° Le rayon est à la tangente d’un angle oblique comme le sinus du côté adjacent est à la tangente du côté opposé.
3° La taugente d’un angle oblique est à la cotangente de l’autre avgle oblique comme le rayon est au cosinus de l'hypothénuse,
À l'aide de ces trois principes et des trois précédens ,
deux quelconques des cinq choses qui composent un
triangle sphérique rectangle étant données (nous ne tenons pas compte de l’angle droit qui est toujours connu), On pourra calculer les trois autres. Nous devons faire observer que lorsque la valeur de la quantité cherchée est donuée par son sinus seulement , comme le même sinus correspond à deux angles supplémens l’un de l’autre, il faut pouvoir déterminer la nature de cet angle par les grandeurs des autres données, saus cela le choix eatre ses deux valeurs demeure entièrement incertain. C’est ce que l’on nomme les cas ambigus ou douteux. Is sont indiqués dans le tableau suivant qui présente l’ensemble de la solution des triangles sphériques rectangles.
TABIEAU
De tous les cas de solution d'un triangle sphérique rectangle.
L'hypothénuse est représentée par a , les deux côtés obliques par bet c, et les deux angles obliques qui leur
sont respectivement opposés par B et C.
Données. Cherchées. Formules.
Bb. 1........ sinb* = sina.sivB* a, B { © 2...,....tange — tanga.cosB C. 3........cotC — cosa.tangB Carr, Bsccetrese SINC == SIN Z:5in Gt a,C 4 Bb 5........tangh = tanga.cosC B. 6........cotB — cosa.tangC cosa b. 7........cosb = —— cos c B. : 8:52. % c05B — tang c-cota : siuc* C 9........ sinC* = —— È sin a cosa Ce IOeerssres COS = —— ces C. 11......,, COSC = tangb.cota . sin b* Bin. SRB —= Siu 4 3 FE sinc , Mrs SIN — ne siuC b. 14........sinb — tangc.cotC A : .0sC D: I In Br — cos € , > sinb ose SIN = -— a. 10. sin SE © 17e... sinc = tangh .cotB RAT B 8 sinC = CRD rss cc PR a. 19........ Cota == cosB.cotc c,B { b. 2a0........tangh— tangB.sinc C. 21.400. cos C = sinB.cosb
390 TR a. 22........ cote — cosC.coth D, G-4 ©. 23........ tangc — tangC.sinb B.:94.:...6.. C0SB — siuG,co54 a. 95......., COS = cosb.coc b, ce B. 26........cotB — sinc.co:b Co AL PCOLCE "cote -s1n0 a. 28........ cos = cotB.cotG cosB = b. 29........c0osb = — B, C 9 É sinC cosC D: I07 PS ICO { siuB
Pour calculer ces formules par les logarithmes, il faut les rendre homogènes en y introduisant le rayon, ce qui se fait en divisant par R les seconds membres qui sont des produits, et en multipliant par R ceux qui sont des yuotiens.
Les arcs mirqués d’un astérisque sont de même nature. Par exemple la formule sin £*— sin a. sin B* indique que l'arc b cherché est plus grand ou pius petit qu'un angle droit, selon que B est lui-même plus grand ou plus petitque g0° Dansles trente cas possibles ilu’yen a donc réellement que six de douteux. Cette indication est fondée sur ce que dans toat triangle sphérique rece tangle un angle oblique et le côté qui lui est opposé, sont toujours de la même espèce, c'est-à dire, tous deux ples grands où tous deux plus petits que go°.
En exanivant le tableau précédent on voit que les trente cas qu'il présente se réduisent aux cinq cas généraux suivans dont les douncées sont :
