Les trois côtés &, b, c d’un triangle sphérique

TR quelconque étant donnés, on déterminerait un des angles, À par exemple, à l’aide de l'expression fondamentale (9) cosa-- cosh.cosc sinb.sinc

cos A —

Mais comme cette formule est peu commode pour le calcul logarithmique, on doit lui faire subir une transformation. Substituons cette valeur de cosA dans l’ex-

pression 2 sin? £ À — 1 — cos À nous aurons

cosa — cosb .cosc

2sin LÀ = 1I— - à sinb.sinc

“SIND nee cosc

Mais sinb.sinc + cosb .cosc — cos(b—c) (Sinus, 16), ct ia en général (SiNUs, 17)

cosg — cosp = 2 sin+ (p+g).sin : (p— 9) Ainsi, cos b— c) —cosa == 2 sin (a+b—c).sin ; (a — b +c)

et, par conséquent ,

RUE \/ 15 2 (a+b—c).sin 3 (a—b+c) FEES | sinb.sinc

Eu rendant cette formule homogène et prenant les lo-

garithmes, il vient

+ Log ;

.sin £

{ Lag.sin ? (@+ b — c) (a — b + c) — Log — Loge}

Comme on peut désigner successivement chacun des angles par À , en faisant le côté opposé = a et les deux autres — b, — c, on pourra évidemment calculer de

la même manière les trois angles du triangle.

27. Deux côtés a et à étant donnés avec un angle, la détermination des deux autres angles et du troisième côté dépend de la position de l'angle connu qui peut être soit opposé à l’un des côtés connus, soit compris entre ces deux côtés. Ce cas général se subdivise donc en deux cas particuliers.

I. Soient donnés les côtés 4 et bavec l’angle A opposé à l’un d'eux. La détermination de l'angle B opposé au côté b est tirée de la proportion (20)

sing : sin® : : sinA : sinB, d’où ; sinb.sinA snB — sin a

TR 591 ce qui peut être calculé directement parles logarithmes.

Pour déterminer l'angle G, il faut obtenir une rel1-

tiou entre les côtés a et 2 et l’angle compris C, à l’aide des expressions fondamentiles (g).

Or, la première et la dernière de ces expressions étant mises sous la forme

cosA .sinb.sinc — cosa — cosb.cosc

cosC.sinb.sina == cosc — cosb.cosa, si on élimine cosc entre ces deux équations, il vient cosA .sinc + cosC.sina — cosz.cosb ;

puis mettant dans cette dernière la valeur de

sina.sinc

sin c — = sin À

tirée de la proportion fondamentale

sina : sinc : : SinÀ :

sinC,

on obtient (r) cotA.sinC +- cosC.cosb — cota.sin/

ce qui est la relation demandée. Pour pouvoir tirer de cette expression la valeur de l’angle GC, il faut avoir recours à un artifice de calcul en déterminant un angle auxiliaire + tel qu’on ait

tangp = cosb.tangA ,

car cet angle étant connu , on a

ta tang À — LU 2 sing cosb cosb. cosy ou o5b.

BCE c cos y sin ÿ

Substituant cette valeur de cot À dans (r), ceute équation devient

cos à siu @

cosp.sinC sin ÿ.cosC:! = cota.sinb

mais (Sinus, 16), cosy sin C + sin y. cos C donc définitivement

= sin(C++),

tangb. sin @

Eu EE) = aug a

expression qui fait connaître la valeur de C +9 et par conséquent celle de C.

Aivsi, pour nous résumer, les données étant a, betA,

on commencera par Calculer $ à l’aide de la relation Log tango = Log cosb + Log tang A — 10,

puis on trouvera la somme C++ par celle-ci

592 TR Log sin (C++) = Log tangb + Log sing — Log.tanga.

Quant au troisième côtéc, on le calculera par la proportion entre les sinus des angles et les sinus des côtés opposés qui donne

sin a.sinC

sinc = —— sin À