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sin (C—?) = KR dans laquelle l'angle auxiliaire g résulte de la relation

cosa.tang B cot? — ER =

29. Les trois angles étant donnés, pour déterminer le côté a, par exemple, ona la formule (s)

TR / — cos? (A + B4-C).cos:

É | sin B.sinC

qu’on peut également appliquer aux deux côtés bet c

sinta

à l’aide de la remarque que nous avons faite (26) sur la formule qui donne ux angle par les trois côtés. Quant à la déduction de cette formule, on la tire des expressions fondamentales (g) par des transformations analogues à celles que nous avons déjà employées dans ce qui précède, transformations que facilite extrêmement la cousidération des propriétés du triangle polaire, dont les auteurs des traités de trigonométrie font un grand usage. Voici quel est ce triangle polaire : ABC étant un triangle sphérique quelconque, imagidont les sommets A', B', C' soient les pôles des grands cercles dont les côtés a, b,c du triangle ABC font partie; alors les

nons un second triangle A'B'C',

sommets À ,B,C de celui-ci seront respectivement les pôles des côtés a', d', c' du triangle A'B'C", et 1] est facile de voir 1° que les angles A', B', C' du triangle polaire A’B'C/ sont les supplémens des côtés a, b, c du triangle ABC ; 2° réciproquement que les angles AB, C du triangle ABC sont les supplémens des côtés a’, b', c du triangle polaire A'B'C. On a donc ainsi

Ces relations donnent les moyens de transformer trèsfacilement les expressions fondamentales (4), comme nous allons en dunuer un exemple.

L'expression (g) appliquée au triangle A'B'C' devient

cosa'—cosb'.cos c’

cosA' — - sin b'.sinc'

ainsi, mettant à la place de A’, a’, b', c' leurs valeurs ci-dessus , il vient

8 cos{180°—A\—cos(180°—B).cos(180°—C) AL M 7 sin(180°—B).sin(180°--C)

Or, en général, cos(180°—x) — — cos x, sin (180°—:x) = sinx; donc cette dernière expression est la même chose que (1)

cosA cos B.cos C suB.smC

cosa =

on obtiendrait de la même manière,

cos B + cos A. cos C

cosb 7 sin A.sinC

cos C + cos A .cos B

FRE 7 sinA.siuB

formules qui donnent les côtés en fonctions des angles TOME 11,

TR 593 comme les formules (g) donnent les angles en fonctions des côtés. On peut à la vérité déduire directement ces dernières formules des expressions (g), mais d’une manière beaucoup moins simple.

Maintenant il est évident qu’en opérant sur l’expression () comme nous l'avons fait au n° 26 sur l'expression (g), nous obtiendrons la formule (s).

dont nous avons fait 27 et 28, se déduisent aisément des expressions (g) ; on les préfère à l'emploi des angles auxiliaires dans tous les cas où elles peuvent être em-