Les formules de Néper, usage aux n

ployées, et elles sont en effet plus directes et plus élégantes. L'emploi de l'angle auxiliaire rend inutile la considération de la perpendiculaire à l’aide de laquelle on ramèue Ja solution d’un triangle obliquangle à celle d’un triangle rectangle, et l’ensemble de cettesolution se trouve assez complètement donné dans ce qui précède pour nous dispenser de le résumer dans un tableau. Il existe encore un grand nombre de formules particulières dont l'application peut faciliter la solution de certains cas, surtout lorsque quelques parties du triangle proposé sont très-petites par rapport aux autres, mais nous devons renvoyer à la Trigonometrie de Cagnoli; c’est le traité le plus complet qui existe sur cette branche importante de la géométrie,

Comme pour les triangles rectangles, toutes les fois que la quantité cherchée est donnée par son sinus il y a indécision dans le choix qu’on peut faire des deux arcs qui lui répondent, cependant on diminue beaucoup le nombre de ces cas douteux par les trois règles suivantes :

° Si la somme de deux côtés est moindre que 180”,

l'angle opposé au plus petit est aigu;

2° Si la somme de deux côtés est plus grande que 180°, l'angle opposé au plus grand est obtus ;

3° Quand la somme de deux côtés est égale à 180°, la somme des angles opposés est de même égale à 180°.

Il faut en outre faire scrupuleusement attention aux signes des lignes trigonométriques, qui sont positives ou négatives selon la grandeur des arcs auxquelles elles se rapportent; par exemple, si le résultat d’un calcul donne cosA — — m, et qu’à la valeur »2, abstraction faite du signe, réponde dans les tables des sinus un arcæ,comme, généralement, cos (90° + z) —=— cosz, l'arc À n’est point alors — +, mais bien — 90° + «. Il faut consulter l’article sinus pour tout ce qui concerne les signes. Quant à la réalisation des calculs numériques, elle s’effectue de la même manière que pour les formules de la trigonométrierectiligne ; ainsi nous pouvons nous contenter d'en présenter un seul exemple.

31. Connaissant les latitudes et longitudes de deux villes, on demande 11 grandeur de l'arc du grand cércle

terrestre qu’elles comprennent, ou, ce qui est la même chose, leur plus courte distance.

Soit A la ville-de Paris, dont la longitude est o et la latitude 48° 50° 13”, et B la ville de Marseille, dont la longitude est 3° 1" 54"et la latitude 43° 17 50". Imaginons un triangle sphérique formé par le pôle boréal et les deux lieux A et B. Dans ce triangle on connaît l'angle au pôle qui est la différence en longitude des deux points À et B , etles deux côtés compris AC et BC qui sont les complémens des latitudes des points A et B. On a donc, en se servant de la notation consacrée :

CG = 3° 1°.54 L b=go° — 48° 50' 13" = 41° 9' 47° a—= 00° — 43 17 50 — 4642 10 et il s'agit de calculer le côté c.

Ce problème rentre dans le 11° cas du numéro 27; ainsi i] faut d’abord calculer un angle auxiliaire » par la

formule cosC.tangb ange = —" 2 ce qui donne Log.cosG = 9, 9993918

Log .tangb — 9, 9416582

Log .tange — 9, 9410500 d’où == 41° 7! 24”.

Substituons cette valeur de # dans la formule

054 ' ; " cos (a—v),

et, comme a —=— 5° 3%" 46", nous aurons

Log cos — 9, 8767024 Log cos (a—?)— 0, 9979380

Log.coss— 9, 8769654

Log cosc — 9,9976750

ce qui fait connaître c — 5° 55 24".

Eu prenant pour la longueur du degré terrestre celle du degré moyen de la France, qui est 111108 mètres (voy. TEnnx), on a donc 658130 mètres pour Ja distance de Paris à Marseille.

On tiouye dansle 7raité de géodésie de M. Puissant

TR toutes les formules trigonométriques employées dans la géodésie et l'astronomie. Nous renvyerrons donc, pour les détails, à cet ouvrage ainsi qu'a celui de Cagnoli déjà cité.

TRILATÈRE. Se dit, en géomctrie, d'une figure qui a trois côtés. Ce mot n’est plus usité : une telle

figure se nomme un triangle.

TRINOME. (4{g.) Quantité composée de trois termes (voy. Porynome).

TRIPARTITION. Partage en trois parties égales

d'une grandeur quelconque (voy. Tnisecriow).

TRIPLÉ. On nomme raison criplee le rapport qu'il y a entre les cubes de deux nombres.

Il ne faut pas confondre une raison triplée avec une

raison triple, car cette dernière n’est que le rapport

d’un nombre à un autre qu'il contient trois fois.

Par exemple, le rapport de 3 ar est une raison triple, tandis que celui de 8 à 1 est la raison tuiplée des

nombres 2 et 1.

TRISECTION. Division d'une grandeur en trois parties égales.

Ce terme est spécialement consacré en géométrie pour désigner la division d’un augle en trois parties égales, problème devenu très-célèbre parce qu'il ne peut être résolu géométriquement, c’est-à-dire avec la règle et le compas. On peut comparer le problème de la trisection de l'angle à ceux de la duplication du cube et de la quaitrature du cercle sur lesquels on s’est exercé vainement pendant deux mille ans, en voulant les faire dépendre de conditions incompatibles avec leur nature. La solution de celui-ci dépend d'une équation du troisième degré qu’on peut construire par diverses courbes. Voyez à ce sujet un ouvrage de

M. Garnier, intitulé Trisection de l'angle.

TRIPASTON. Nom que les ancieus donnaient à une machine formée par l’assemblage de trois poulies (voy.

MourriE).

TROCHOIDE. Nom de la courbe plus générale-

ment connue sous celui de CycLoïpe.

TROIS. Rècze DE rois. Opération de l'arithmétique qui consiste à calculer un des termes d’une proportion au moyen de trois autres.

La règle de trois se compose d’une multiplication et d’une division, et ne présente d'autre difficulté que celle d'établir convenablement la proportion entre les quantités que l’on veut comparer; car, une fois cette proportion établie, si le terme cherché est un moyen, on l'obtient en divisant le produit des extrêmes par le

ee +

TR moyen connu, et, si c'est un extrême, en divisant le produit des moyens par l'extrême connu (voy. Proro- SITION).

Pour établir une proportion entre quatre quantités, on doit observer 1° de composer chaque rapport de quantités de la même espèce ; 2° de n’égaler entre eux que deux rapports directement égaux, c’est-à-dire, dont l’un ne soit pas l'inverse de l’autre. Avec cette attention il n’est pas nécessaire de s'occuper de la place qu'occupe le terme cherché dans la proposition, et toutes les considérations de règle de trois directe et de règle de trois inverse, dont les auteurs de traités d’arithmétique compliquent la question, deviennent complètement inutiles.

Les deux questions suivantes vont indiquer la marche qu'on doit suivre dans tous les cas.

1. 30 aunes d’étoffe ont coûté 55 fr. 50 c., on demande combien coûteront 55 aunes de la même étoffe?

Plus il ya d’étoffe, plus le prix doit être considérable; ainsi les nombres d’aunes doivent être en rapport direct des prix qu'ils coûtent. Désignant donc par x le prix cherché, on dit : le rapport de 30 aunes à 55 aunes est le même que celui de 55 fr. 5o c., prix de 30 aunes à x, prix de 55 aunes; ainsi, posant la proportion

DER ENS NDOELT,

il s’agit de calculer un extréme. On a donc

réalisant d’abord la multiplication, puis divisant le produit par 30, on trouve x — 1017 fr. 35 c. 55 aunes coûteront donc ro1 francs 55 centimes.

2. Un certain ouvrage a été terminé en 5 jours par 8 ouvriers, on demande combien de teinps mettront 11 ouvriers, travaillant de la même manière, pour terminer le même ouvrage ?

Ici, plus il y a d'ouvriers, moins de temps il faudra ; ainsi le rapport du nombre des ouvriers, c’est-à dire des nombres 8 : 11 est l'inverse de celui des jours de travail ou de celui des nombres 5

celui : x; il faut donc renverser ce dernier rapport et écrire la proportion