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que l'on tire facilement de la proportion (1). |. L'opération indiquée par cette expression, et qui

HA 77 consiste à diviser le double du produit des extrémes par leur somme, est nommée DiVistON HARMONIQUE, parce qu’elle renferme le principe de l'échelle diatonique de la musique. Pour comprendre la génération que nous allons donner de cette échelle, il est essentiel de se rappeler les notions fondamentales suivantes :

1°. La hauteur d’unto7 quelconque est entièrement déterminée par le nombre des vibrations qu'il fait dans un temps donné, ou par la durée du temps pendaut

lequel il achève un nombre donné de vibrations.

2°. L'intervalle de deux tons est exprimé par le rapport des temps pendant lesquels ils font un même nombre de vibrations.

3°. Deux intervalles sont égaux, lorsque les temps des tons qui les composent forment entre eux une proportion géométrique.

Ceci posé, désignant par l'unité, le temps employé par un ton marqué: ut, , pour faire un nombre déterminé de vibrations, on sait par expérience que la fraction + exprime rigoureusement l’octave de ce ton, en

Ulas

: 1 Prenant la moyenne harmonique entre 1 et-, c’est 4 I :

à-dire faisant À — - et C — 1, nous obtiendrons >

B — ;,ettelest le ton marqué s0/, ou la quinte de

ŒIR

Ulis.

L'intervalle de la quinte à l’octave est une quarte ; diitervatéebessn aber, Of cet intervalle est égal à - : 5 — =. On la marque fu. Ps que fé La moyenne harmonique entre ut, et sol, ou entre

Int est à. tierce najettre , Où mi.

La moyenne harmonique entre w et fa, ou eutre A 8 ; ; 1 et #, cest - ; seconde majeure, ou rc.

5 9 La moyenne harmonique entre fa et ut,, ou entre

et-, est 3 sixie majeure où la.

CR

L’intervalle de la tierce à la quarte est aussi celui de la septième à l'octaxe , il en résulte la proportion

— est la septième majeure ou si.

Les sept tons de l'échelle diatonique seront donc représentés par les termes de la progression .

13 HA DC IT D D 8 Ts 9' 5? A BARRES ut,,re, nai, fa, sol, la, si.

on y trouve les trois intervalles ut 8 fa ui8 ant dant Bu :8 Ré un entig kr Sol-ot4ntie:set 16e 75!

égaux chacun à D tons maÿeurs ; les deux intervalles TES LOIR. 3 OCR OU

égaux chacun à —, ons mineurs ; et enfin les deux

intervalles

égaux chacun à —, semi tons majeurs.

L'intervalle du semi ton majeur au ton mineur, se uomme sepu ton mineur; et celui du {on majeur au ton

mineur prend le nom de commu. Le premier est donc o |

: , 2 Sr représenté par le nombre 2 etle dernier par —

Si l’on veut intercaler des tons intermédiaires entre les tons primitifs de l’échelle diatonique pour former l'échelle qui procède entièrement par demi tons et que l’on nomme échelle chromatique, on pourra encore opérer de la même manière en se servant des intervalles

adoptés par les musiciens. En effet :

L’intervalle de la quarte à la septième mineure, est lui-même une quarte parfaite; on a donc la proportion

ul:

Ja :: fa: si bémol

d’où il résulte, si bémol =+.

L’intervalle de la sixte mineure à \a septième mineure , est une seconde majeure. Cette égalité donne la proportion

ut :r6 :: sol dièse : st bémol

d’où l'on tire, en substituant les nombres, sol dièse __ 81 - 128"

L'’intervalle de la seconde majeure à la quarte majeure est une tierce majeure ; d’où

ce qui donne, ut, dièse—

HA

ut,: mi::ré: fa dièse

: e 32 : ; et par suite, fa dièse = 45? quarle majeure nommée

aussi fausse quinte ou triton.

L’intervalle de la seconde majeure à la quarte est une tierce mineure, d’où

rés fa autre dièse CEE

Enfin, l'intervalle entre ré et re dièse est une seconde

et ré dièse

mineure, et comme celui de ut: à ul, dièse doit être aussi une seconde mineure, on a

ré : ré dièze : ; ut, : ut, dièse

Les douze tons de la gamme complète chromatique , savoir: ut, ut, dièse, ré, re dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, si bémol, s£, ut, auront donc pour valeurs numériques :

lesquelles sont toutes déduites du principe très simple de la division harmonique de l’octave. Nous devons dire cependant que tous les auteurs ne sont pas d'accord sur les valeurs des tons intercalaires; mais les précédentes sont généralement adoptées par les premiers harmonistes allemands.

HARRIOT (Tuowas). Ce savant mathématicien, naquit à Oxford en 1560; dès l’âge de 19 ans, il avait obtenu le grade demaître-ès-arts, et n'ayant qu’une fortune médiocre il fut obligé de donner des leçons de mathématiques pour se procurer les moyens de continuer ses études. Plus tard il fut un des compagnons du chevalier Walter Raleigh, cet infortuné favori de la reine Elisabeth, qui conduisit une expédition anglaise dans la Caroline du nord , à laquelle on donna le nom de Virginie. Harriot leva la carte de ce pays, et publia à son retour à Londres la relation de ce voyage. Depuis lors il s’occupa exclusivement de mathématiques, mais naturellement modeste et habitué à une vie solitaire et méditative, ses travaux qui ont contribué aux progrès delascience, ne furent d'abord révélés qu’à quelque amis, et leur publication n’eut lieu qu'après sa mort. On lui doit l’importante découverte de la nature et de la formation des équations , que Viète avait déjà abordée,

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mais qu’il développa avec une sagacité et une supériorité remarquables. Il ne se borna pas à considérer les équations sous la forme usitée jusqu'alors, c’est-à-dire en égalant les termes où entre la quantité incotnue à celui qui contient la connue. Il fait passer dans l’occasion ce dernier terme du même côté que les autres, et V’affectant d’un signe contraire à celui qu’il avait, il égale toute l’expression à zéro. Mais il semble, comme l'ont remarqué plusieurs géomètres, qu'Harriot n’a pas senti lui-même tout l'avantage qu’on pouvait tirer de cette manière de considérer les équations, car il ne la mentionne pour ainsi dire qu’en passant, et emploie partout ailleurs que dans un seul chapitre de l’ouvrage où se trouve cette découverte la forme ordiuaire, Iorsqu'il propose une équation. Mais la découverte fondamentale d'Harriot, celle qui lui a fait assigner un rang élevé parmi les mathématiciens de son temps, est tout entière dans la remarque qu’il a faite, que toutes les équations d’ordres supérieurs sont des produits d’équations simples. L'on sait que de cette génération des équations découle une foule de vérités qui sont d’un haut intérêt en algèbre. Nous renvoyons au surplus, pour prendre une idée plus complète dé cette partie des travaux d’Harriot, à l'ouvrage même où cette méthode est proposée : Ariis analytica praxis ad œquationes algebricas resolvendas | Londres, 1631. in-fol. Wallis a fait tort à la mémoire de Harriot en parlant avec exagération de ses découvertes et en lui attribuant, sans sagacité, celles’ de Descartes dont il avait la prétention de rabaisser le génie. Il a été jusqu’à le désigner comme l'inventeur des équations du second degré, dont la découverte appartieut incontestablement à Viète. Harriot était en correspondance avec plusieurs savants célèbres de son temps, et notamment avec Képler; il résulte des lettres de ce dernier, qu'Harriot était en correspondance avec lui au sujet de la théorie de F'arcen-ciel. Vers le milieu du dix-huitième siècle, on trouva dans un château du comté de Sussex ; qui appartenait à la famille des ducs de Northumberland, un manuscrit d'Harriot, d’aprèslequel on pourrait présumer que ce géomètre avait reconnu les taches dans le soleil à peu près en même temps que Galilée, Cette circonstance n'est remarquable dans l’histoire de la science qu’en ce qu’on peut en tirer la conséquence qu'Harriot s'était procuré un télescope, ou qu’il en avait deviné la construction. Nous ferons remarquer que Drebbel, qui le premier apporta à Londres un microscope et un télescope qu'il avait acheté de Zacharie Jans, y fut accueilli par le roi Jacqués en 1618, et qu’il est fort possible qu'Harriot ait tenu de cet homme, qu’on a beaucoup trop calomnié, la connaissance de ce dernier instrument, Cependant d’après ce manuscrit, Ilarriot aurait vu les taches du soleil en 1610, c'est-à-dire un mois après

HA 19 Galilée, ce qui s’accorderait mal avec cette circonstance d'autant plus probable cependant que dans des lettres postérieures à cette époque, il ne parle pas de cette découverte; et il était assez naturel qu’il communiquât une pareille découverte à un astronome comme Képler. Il y a donc ici confusion ou erreur de date. Harriot est

mort à Londres le 2 juillet 1621.

HAUTEUR. (Géom.) Élévation d’un objet au-dessus de la surface de la terre. La mesure des hauteurs tant accessibles qu’inaccessibles est l’objet de l’Æ/wmétrie (voy: ce mot).

On se sert encore de ce mot pour désigner la distance d’un point à une ligne et celle d’une ligne à un plan. C’est ainsi qu'on nomme hauteur d’un triangle la perpendiculaire abaissée de son sommet sur sa base, ou, plus généralement, du sommet de l’un de ses angles sur le côté opposé à cet angle. La hauteur d’un parallélogramme est la perpendiculaire abaissée d’un point quelconque d’un de ses côtés sur le côté opposé.

HAUTEUR. ( 454.) On nomme hauteur ou élévation d’un astre, l’arc du cercle vertical compris entre l’astre et l’horizon.

Les hauteurs des astres se dis inguent en apparentes et en vraies. La hauteur apparente ett celle qu’on observe avec les instrumens et qui est influencée par la réfraction qui relève l'astre vers le zénith, et par la parallaxe qui l'abaisse vers l'horizon. La hauteur vraie est celle qu’on obtient par le calcul, en tenant compte des effets de la réfraction et de la parallaxe.

La hauteur meridienne, qui a lieu lorsquel’astre passe par le méridien, est la plus grande de toutes ; c’est l’arc du méridien compris entre l’astre et l'horizon. Son observalion est essentielle dans un grand nombre de questions astronomiques, et principalement pour trouver la déclinaison de l’astre. (Foy. DÉcuinaison. }

La hauteur de l'équateur est la plus petite de ses deux distances à l'horizon mesurée sur le méridien. Elle est le complément de la hauteur du pôle.

La hauteur du pôle est égale à la latitude terrestre du lieu , et le problème si important pour l'Astronomie.et la Géographie de trouver la latitude d’un lieu se réduit à trouver la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de ce lieu. (Foy. LAriTuDE. )

Si l’étoile polaire était exactement située au pôle, il suffirait de mesurer sa hauteur pour avoir immédiatement la latitude; mais comme elle en est éloignée d’environ deux degrés, ce n’est qu’à l’aide de ses hauteurs méridiennes qu'on peut trouver le centre du petit cercle qu’elle décrit en 24 heures autour du pôle, c’est-à-