Si la hauteur À du niveau est constante, on a sim

plement,

dépense = at\/2gh ou, en désignant par D la dépense, (13)

D — \/5g. at Vh pour Paris, où la quantité g est 9",80867 ;, nous aurons (14) Ë

D — (4,42915)aV/h

expression dans laquelle £ doit être un nombre de secondes. |

Lorsque l’orifice est circulaire, l'expression (13) peut encore se simplifier; car, en désignant par r le rayon de

cet orifice et par 7 pst 1, On a a=—=.7 r°, et comme r=—3,

la demi-circonférence dont le rayon 1415926.., on obtient, en réalisant le calcul des quantités constantes, (15)

rh

formule dans laquelle on mettra ensuite les valeurs de

r, de £ et de Æ qui conviendfont au cas particulier que Von voudra examiner. La valeur de D sera donnée en mètres cubes, et comme le poids d'un mètre cube d’eau est de cent kilogrammes, on connaîtra immédiatement le poids de la dépense.

G. Si nous considérons un second vase qui, ainsi que le premier, se maintienne toujours plein, et que nous nommions D’ sa dépense, a’ son orifice et L' la hauteur de son niveau au dessus de l’orifice, l'équation (13) deviendra pour ce ças

= V/2g. a'l\/h' et en comparant D à D', nous obtiendrons la proportion D

: D':: ah: ah

ainsi lorsque a — a’ ou lorsque les orifices ont la même ouverture, les dépenses d’eau sont comme les racines carrées des hauteurs.

7. La hauteur k' dont un mobile tombe dans un temps 1, est donnée par l'équation (Ÿ’oy. AGcÉLÉRÉ).

oh"

RTE, dout— rs

mettant cette valeur dans (13) nous aurons (16)

oa\/hh

d’où l’on voit que la dépense, dans le cas du niveau

coftant, est égale au double du volume d’un cylindre dont l’orifice a serait la base et qui aurait pour hauteur une moyenne proportionnelle entre la hauteur du niveau et la hauteur de laguelle un corps grave descend dans le temps 4.

8. La dépense d’eau calculée d’après les formules précédentes ne s'accorde pas avec celle qui résulte de

HY l'expérience, et la surpasse toujours en grandeur, dans un rapport qui ne varie ni avec la largeur de l’orifice ni avec la hauteur du niveau. On évalue ce rapport constant à 0, 62; de sorte qu'il faut, dans les applications,

multiplier par o, 62 (Foy. le mémoire de Prony sur le jaugeage des eaux courantes), les valeurs de D données par Les formules 13, 14, 15 et 16. L’équation (15)

devient ainsi (17)

On attribue cette différence entre la théorie et l’expé- * rience à la contraction que le fluide éprouve en sortant par l’orifice, contraction qui paraît elle-même résulter des directions concourantes que prennent les moléculés en s’approchant de Porifice, ce qui produit un rétrécissement dans la largeur de la veine fluide,

9. Les théorèmes des N°3 et G trouvent d'assez nombreuses applications dans la pratique de l’hydraulique, qui est heureusement beaucoup plus avancée que Foy:

nouvelle Architecture hydraulique de Prony. Foy. aussi

la théorie, l’'Hydrodynamique de Bossut, et la

le mot IlYDROSTATIQUE.

HYDROGRAPHIE. (Géographie ) ( deudap, eut 1

de 7pagu, je décris.

dans ce dictionnaire

) Partie de la géographie qui a pour objet la connaissance des mers. Quelques auteurs ont étendu ce mot à l’art de naviguer.

HYDROSTATIQUE. ( la mécanique. C’est la science de l'équilibre des fluides.

Méc ). Une des branches de

Le mot Hydrostatique, formé de doseauetdesar: 05) qui arréte, désigne proprement la statique de l’eau, où la science de l'équilibre des caux ; mais on l’applique aujourd’hui à la statique de tous les fluides, tant liquides que gazeux : on donne cependant le nom particulier d'Acrostalique, à la statique de l’air(voy. ce mot). Cette science doit sa fondation à Archimide, qui en a donné les premières notions dans son traité de insidentibus humido.

Depuis le géomètre de Syracuse , jusqu’au géomètre flamand Stevin, c’est-à-dire, jusqu'a la fin du seizième siècle, l'Hydrostatique demeura sans développement, et l’on ne trouve, même pendant cette longue période,

aucune trace de tentatives faites pour en perfectionne la théorie. Le premier traité méthodique sur cette ma tière , est celui de l'équilibre des liqueurs de Pascal car l’ouvrage de Stevin se réduit presque exclusive ment à la démonstration des propositions fondamentale trouvées par Archimide. Pascal ne se contènta p d'établir d’une manière rigoureuse et uniforme les pr priétés de l'équilibre des fluides, il résolut encore plu sieurs difficultés importantes , et l’on doit certainemer à ce grand homme les premiers progrès réels de cett science, qui se développa bientôt après par suite d trayaux de Toricelli , de Guglielmini et de Mariotte.

HY

Lorsque les lois principales de l'Hydrostatique eurent été posées empiriquement d’une manière incontestable, leur déduction mathématique devint le but des efforts des plus grands géomètres. Jean et Daniel Bernouilli , Newton, Maclaurin, D'Alembert, Clairaut, Lagrange, s’en occupèrent successivement avec plus où moins de bonheur; mais comme la nature ou la constitution intime des fluides, est encore entièrement inconnue, tout ce que l’on apu faire jusqu'ici, c'est d'établir la théorie mathématique des lois hydrostatiques, sur le principe expérimental de l'égalité de la pressionen tous sens. Cette théorie, que nous allons exposer, est donc encore bien loin d’être définitive; et si elle parait suffisante pour rendre raison des phénomènes connus, on ne peut guère en espérer des découvertes ultérieures,

3, Nous admettrons, comme uu fait constaté par expérience, que toute pression exercée à la surface d’un fluide quelconque, est transmise également dans tous les sens. Pour préciser cette hypothèse fondamentale, et l’exprimer numériquement , considérons un vase AF (Pc, 43 fig. 2 ) dela forme d’un parallélipipède, et rempli d’un fluide mcompressible que nous supposerons d’abord sans pesanteur. Si nous imaginons qu’à la surface mnop du fluide, on applique un piston qui couvre exactement cette surface sur tous ses points, et que l’on fasse agir un poids P perpendiculairement au piston,

Ja base du vase ABCD sera pressée comme si le poids P

lui était appliqué immédiatement, et chacune de ses parties supportera une pression proportionnelle à son étendue. Ainsi désignant par A la surfacc ABCD et par a une partie abed de cette surface, nous aurons

Atlas: SP4:D

p désignant la pression que supporte a. Sinous prenons donc & pour l'unité de surface , nous aurons (1)

1ù PAS A

et, par conséquent une partie Ab'c'd'de la surface ABCD qui contiendra © fois l'unité de surface, supportera une pression P' donnée par l'équation (2)

Pi rs

Mais la pression que le poids P exerce à la surface suérieure du fluide se transmet par son intermédiaire, non-seulement sur la base du vase, mais encore sur toutes les autres parois qui sont également pressées: donc la surface», au lieu d’être prise sur la base, était située tar l’une des parois latéraïes, elle supporterait encore a pression po.

2. En considérant Ja surface w comme infiniment vetite, elle peut être représentée par le rectangle élé-

mentaire dædy (Foy. Quaprarure), et alors pdxdy devient la pression exercée contre un élément du vase, en quelque partie que cet élément soit situé et lors même que la surface du vase serait courbe.

3. Nous avons jusqu'ici considéré le fluide contenu dans le vase comme s’il était sans pesanteur : or, lorsque ce fluide est pesant, il transmet bien toujours de la même manière la pression qu’on exerce à sa surface, mais il exerce en outre contre les parois du vase une pression due à son propre poids, laquelle est variable d'un point à un autre de ces parois. Il en est encore de même lorsque les molécules d’une masse fluide, contenue dans un vase fermé de toutes parts, sont sollicitées par des forces accélératrices données, de telle manière que les parois du vase soient nécessaires pour maintenir l'équilibre, et qu'on ne puisse y faire une ouverture sans que le fluide ne s'échappe. Alors chaque point de ces parois éprouve une pression particulière dirigée de dedans en dehors, pression dont la grandeur dépend des forces accélératrices données , et de la position du point. En désignant par p' cette dernière pression, on voitqu'on ne peut la supposer constante que dans une étendue infiniment petite #. Ainsi p étant la pression totale de l'unité de surface dont on peut concevcir chaque élément comme épronvant la pression p', on a l'équation (3)

p'=pe

La quantité p est ici ce qu’on nomme la pression à chaque point du vase rapportée à llunité de surface.

4. Cela posé, dans le cas où la paroi supérieure du vase, ou seulement une de ses parties, serait remplacée par un piston, pour que l'équilibre subsiste toujours il faut évidemment appliquer au piston une force égale et contraire à la pression que la surface du vase éprouvait à cet endroit; car alors les conditions demeurent les mêmes. L'équilibre ne sera pointencore troublé, si à cette première force on en ajoute une seconde P ; seulement la pression exercée par elle sur la surface du fluide en contact avec le piston, sera transmise par le fluide également en tous sens, et par conséquent la pression pse trouvera augmentée à chaque point du vase d’une quan-

è ; LE . :

tité constante etégale à NÉ M désignant l'étendue de la surface du fluide qui reçoit la pression P (voy. ci-dessus (1). Ainsi la pression totale que supportent les parois d’un vase, lorsqu'il renferme un fluide en équilibre, se compose de la somme de deux espèces différentes de pressions , l'une variable d’un point à l’autre, due aux forces motrices des molécules élémentaires du fluide, l’autre, constante pour tous ces points, due à la pres: sion exercée à la surface du fluide et transmise également dans toutes les directions par l'intermédiaire du fluide,

5. Cherchons maintenant l'équation générale de l'équilibre en rapportant la position d’une molécule fluide à trois plans rectangulaires coordonnées (Foy. APPLICATION, 29) et pour cet effet supposons que le plan des x.y soit horizontal et situé au-dessus du fluide( pl. 43. Jig. 3) dont nous concevrons le volume partagé en un nombre infini de parallélipipèdes élémentaires par des plans parallèles aux trois plans coordonnées. Désignons par »2 la masse du fluide ; dm sera celle de l'un de ces élémens, dont le volume sera exprimé par dxdydz, x, 7,2 étant les coordonnées de l'élément. Or, en désignant par d ia densité, supposée constante dans la molécule du fluide, la masse étant égale au produit du volume par la densité (Voy. Dexsité), nous aurous (4) dm —= d'dxdydz

Désignons par X,Y,Z les sommes des composantes parallèles aux axes des x, des y et des z, des forces accélératrices qui agissent sur la molécule. Ces résultantes devront être considérées comme constantes dans toute l’étendue de l'élément dm; les produits

Xdm, Ydm, Zdm

représenteront les forces motrices de dm, parallèles aux axes. (/’oy. Force morte et Mécaxioue.) Ces forces doivent contrebalancer les pressions que le fluide envirounant exerce sur les six faces de l'élément dm. Désignant par p, comme ci-dessus, la pression rapportée à l'unité de surface, la pression supportée par la surface supérieure 779 ou drdy de la molécule, sera

pdædy ; mais lorsque lordonnée am — z devient am mn ==3 + ds, la pression p qui varie avec z devient :

dp D — dz TT dz

et cette dernière quantité exprime la pression de l’unité de ‘surface sur la base »p du parallélipipède; cette base éprouvera donc une pression

(P —- “ ds) dxdy

La différence des pressions verticales à la surface supérieure et à la base du parallélipipède, c’est-à-dire la différence entre la pression qui tend à élever la molécule et celle qui tend à l’abaisser sera donc

dp

. dxdyd=

et comme cette différence doit faire équilibre avec la force motrice verticale Zdm , nous aurons

& dx dy dz — Zdm

HY

ou , simplement (5) É

dprur s

dz en substituant à la place de dm sa valeur (4).

On obtiendra de la même manière, en désignant par

get r les pressions latérales exercées sur l'unité de sur-

face et qui agissent contre les faces ns—dxdz, mo—dydz, (6)

Mais les pressions g et r ne peuvent différer de la pression p, car la pression pdrdy qui a lieu sur la face dxdy devant être transmise dans tous les sens, les pressions des faces verticales dxdz,dydz seront composées des pressions pdxdz, pdydz augmentées des pressions particulières dues aux forces motrices Xdm, Ydm, Zdm. Ainsi les pressions totales ydxdz, rdydz seront respectivement

gdxdz=—pdxdz4M rdydz = pdy dz--N

M et N étant les pressions dues aux forces motrices. Or, M et N sont évidemment des quantités infiniment petites du troisième ordre, comme Ja masse dm ; ainsi elles sont nulles par rapport aux quantités infiniment petites du second ordre qui entrent dans les équations précédeutes (7’oy. DirrérenTIEL) et en les retranchant on trouve g—p etr—p. Les expressions (5) et (6) se réduisent donc à (7

d'où l’on déduit l'équation générale (8) dp=XXdx + Ydy +Zd:)

La valeur de p qu’on obtiendra en intégrant cette équation, exprime la pression, rapportée à l’unité de surface , que le fluide exerce en un point quelconque dont les coordonnées sont x,y,2. Lorsque le fluide est renfermé dans un vase, il suffira de mettre dans p la valeur des coordonnées d’un point de sa surface pour connaitre la pression qne ce vase éprouve à ce point, et qui sera toujours détruite par la résistance de la paroi, tant que cette résistance sera suffisante. Dans les endroits où ie vase est ouvert, comme rien ne détruirait la pression du fluide, l'équilibre ne peut subsister, si la valeur de p ne devient nulle d'elle-même pour tous les points de la surface libre du fluide; condition qui ne peut être remplie que pour des fluides incompressibles et lorsque la surface libre est la surface supérieure du fluide. Dans les fluides élastiques, la pression étant proportionnelle à la densité (Foy. Air), cette pression ne peut jamais devenir nulle tant que la densité ne l’est pas, et par conséquent un tel fluide ne peut rester en équi-

HY

libre s’il n’est contenu dans un vase fermé de toutes parts.

16. Appliquons les considérations précédentes au cas desfluides incompressibles, et considérons un tel fluide, homogène dans toutes ses parties, renfermé dans un vase capable d'opposer à la pression une résistance indéfinie. La densité d étant alors constante, la possibilité de déterminer la valeur de p pour un point dont les coordonnées sont x, y, z dépendra de celle de l'intégration de la formule.

Xdx + Ydy + Zdz

intégration à laquelle on peut toujours parvenir lorsque cette formule est une différentielle exacte des variables x, y, z. Si une partie de la surface supérieure du fluide est libre, la pression p doit être nulle à cette partie pour que l'équilibre puisse subsister; l'équation (8) devient (0)

Xax + Ydy + Zd: —0o

Cette dernière équation aurait encore lieu si la pression p était constante. Tel est le cas où l'atmosphère, par exemple, presse également sur tous les points de la surface libre. En effet la différentielle d’une quantité constante est zéro.

7 Mais dans le cas où l’expression (9) est une différentielle exacte, et que dp — 0, c’est-à-dire lorsque la pression, si elle existe, est constante, pour que le fluide puisse rester en équilibre, il faut nécessairement que la résultante des forces accélératrices qui agit de dehors en dedans, soit normale à la surface du fluide; car dans le cas contraire on pourrait la décomposer en deux forces, l’une normale et l’autre tangente à la surface, et rien n’empêcherait cette dernière de faire glisser la molécule dm. X résulte de cette considération, que lorsque le fluide n’est sollicité que par des forces accélératrices dirigées vers un centre fixe , sa surface extérieure doit être sphérique. En effet prenant le centre d’attraction pour l’origine des coordonnées , la distance du point T, 7, %, à cette origine, aura pour expression