VERT

Désignons par r cette distance et par @ la force d’attraction qui agit sur dm; cette force fera avec les axes

4 Hobre

coordonnées des angles qui auront pour cosinus -—.*, —: r

nous aurons donc

et ces valeurs substituées dans (9)nous donneront, pour l'équation de la surface du fluide,

F(xdx + y dy + 2dz)=0

ou simplement

HY

dx + ydy 4zdz =0 dont l'intégrale

le] QT

2? +7? +2 =0C est l’équation d’une sphère (J/oy. ce mot). Ainsi la surface du fluide est nécessairement sphérique.

8. Si le centre d'attraction est très-éloigné de la surface du fluide, comme, par exemple, le centre de la terre par rapport à la surface supérieure d’une eau stagnante, la courbure devenant insensible dans une petite étendue, on peut, pour cette étendue, la considérer comme plane.

9- Dans le cas où les forces accélératrices qui agissent sur un fluide se réduisent à la seule force de la pesanteur, nous aurons

X—=0, Yo) 2—p8 g désignant la force de la pesanteur à la surface de la terre.

L’équation d'équilibre pour une masse fluide renfermée dans un vase ouvert à sa partie supérieure, et qui repose sur un plan horizontal , deviendra donc, en substituant ces valeurs dans (8)

(10)... dp—=dgdz

La surface supérieure du fluice, qui sera horizontale, comme nous l'avons vu ci-dessus, étant prise pour le plan des x, y.

L'intégration de cette équation , en considérant J'et g comme des quantités constantes, nous donnera (r1;

p= dx

Il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que la pression doit être nulle à la surface du fluide, ou lorsquez — 0.

10. Soit À la distance comprise entre le niveau du fluide et un point de la surface intérieure ou de la base du vase. Pour ce point, z devenant À, nous aurons (12)

p=ôgh

et telle sera la pression que supporte l’unité de surface de la base.

Mais nommons P la pression que supporte la base totale du vase égale à un certain nombre »2 d'unités de surface ; P contiendra m2 fois p, et l’on aura (13)

P=pm ce qui devient, en substituant à p sa valeur (12)

14 OP = dem

En remarquant que »#h exprime le volume d’un prisme qui a 2 pour base et À pour hauteur; et qu’en multipliant le volume par la densité, on obtient la masse du prisme ( Voy. Densité); laquelle a son tour multipliée

par la gravité g donne le poids ( Fay. ce mot); on en conclura que la base » supporte une pression égale au poids du volume du prisine du fluide qui repose sur cette base. Ainsi cette pression est indépendante de la figure du vase. Nous obtenons ici un résultat très-remarquable et reconnu par l’expérience, c'est que, quelles que soient les capacités de plusieurs vases ayant des bases égales et dont les uns vont en s’élargissant de la base au sommet et les autres en diminuant ( Foy. pl. 43, fig. 4), si on les remplit tous du même fluide pesant jusqu'à une même hauteur, les bases éprouveront des pressions égales quoique les quantités de fluide çontenues dans ces vases soient entièrement différentes. 11.Pourtrouver la pression que le vase éprouve surses surfaces latérales, nommons «dy l'élément de cette surface; la pression p que supporte l'unité de surface de l'élément de sera donnée par l'équation {11), en donnant à z pour valeur la distance de do au niveau du fluide; mettant cette valeur dans (13) et remarquant que 72 doit être remplacé par la surface élémentaire du, nous obticndrons d9zds pour une des forces élémentaires

parallèles qui composent P , ainsi (15)

P= [lies

Lorsque Ja surface » est donnée, les deux variables = et» qui entrent dans cette équation, se réduisent aisément à une seule et l'intégration peut toujours s’ef. fectuer. Nous ne pouvons entrer dans les détails ultéricurs,.

12. La pression éprouvée par la surface inférieure d’un vase qui contient plusieurs fluides pesans de densités différentes et superposés les uns sur les autres , se trouve sans difficulté par les principes précédens ; car en admettant qu'on ait versé sur l’eau en équilibre dans le vase (fig. 5, pl. 43) EFGH , un nouveau fluide plus léger, qui ait sa surface supérieure EF horizontale, comme celle de l’eau et qui s'élève à une hauteur }’ au-dessus de la surface EF de l’eau, ces deux fluides resteront en équilibre dans le vase, et le nouveau fluide exercera une pression égale sur tous les points de la surface de l’eau qui forme sa base; ainsi, cette dernière surface étant représentée par 77’ et la densité du fluide par d’, la pression totale de l'aire’ sera d'g m'h', en vertu de 14. Mais cette pression est transmise, par l’intermédiaire de l’eau , sur le fond GH du vase ,et il en résulte sur ce fond dont l'aire est 72 , une nouvelle pression égale à d'emh'; d'où il suit que la pression totale que les deux fluides réunis exercent sur la base horizon-

tale du vase, est égale à

P — dgmh + d'gmh"

Untroisième fluide, d’une densité encore moindre 9, versé sur la surface du second jusqu’à la hauteur 4" au-

HY dessus de cette force , produirait sur cette surface CD; dont nous désignerons l'aire par 72", une pression d'gmh"; cette pression transmise par le second fluide sur la surface supérieure du premier deviendra d’gr'h", et cette dernière transmise sur la base du vase par le premier fluide sera enfin d’gmh"'; donc la pression totale

des trois fluides réunis, sur la base du vase sera P = 9gmh + d'omh' + d'gmh"

et ainsi de suite pour un nombre quelconque de fluides.

13. Examinons actuellement les conditions d’équilibre des fluides contenus dans plusieurs vases qui communiquent de l’un à l’autre par des ouvertures latérales. Soient, pour cet objet, deux vases M et N (p£. 43

Jig: 6) d’une capacité quelconque, réunis à leurs parties inférieures par un conduit ren. Si ces deux vases renfermént un seul fluide homogène et incompressible, et qu'ils soient ouverts à leurs extrémités supérieures, il faudra nécessairement que le fluide s'élève à la même hauteur ou qu'il ait le même niveau dans l’un et dans l'autre de ces vases; car l'équilibre ne saurait subsister si la pression exercée dans le premier yase par la masse AomB de fluide, sur la couche oEFp du,même fluide commune aux deux vases, n’est pas contrebalancée par la pression exercée dans le second vase par la masse fluide CrpD , sur la même couche commune : or ces pressions dépendent uniquement des hauteurs Ao et Cn ( Foy. 10); donc, dans le cas d'équilibre , ces hauteurs sont égales,

14. Si nous imaginons que sur l’une des surfaces li- Lres du fluide, sur AB, par exemple, on ait placé une paroi mobile , toute pression exercée sur cette paroi forcera une partie du fluide du vase M à se rendre dans le vase N, et conséquéemmentleniveau AB s’abaissera , tandis que le niveau CD s’élevera. L'équilibre ne pourra s’établir que lorsque le niveau CD aura atteint une hauteur suffisante pour que la pression due à cette hauteur puisse contrebalancer la somme des pressions exercées dans le vase M par le fluide restant et par le poids qui agit à sa surface supérieure. L'équilibre aura encore lieu sans que le niveau AB s'abaisse, si l’on donne au fluide du vase N une hauteur convenable au-desssus de ce niveau, en augmentant sa quantité,

Désignons par P le poids qui presse la surface AB, et par À la hauteur, au-dessus du niveau ABCD, de la quantité de fluide qu’il faut ajouter pour conserver l'équilibre. La pression exercée par cette nouvelle quantité de fluide sur la surface de niveau CD sera dgrh, m étant l'aire de cette surface. Ainsi M étant l’aire de la surface AB, on aura pour la pression de l’unité de surface de la cou-

che commune oËFp, d’une part M et de l'autre Jem ; rie ST Dgh, et par conséquent dans le cas d équilibre, m - SENS

D'où

Il résulte de ces expressions que L est entièrémient indépendant de la forme et de la capacité du vase N, de sorte que dans le cas où ce vase serait un cylindre d’un très-petit diamètre, il suffirait d’une petite quantité de fluide pour atteindre cette liauteur , et conséquéemment pour faire équilibre ä P, queile que soit la grandeur de ce poids. C’est sur ce principe que reposent la construction et les propriétés de la presse hÿ drostatique. (Voy. PRéssE.)

15. La pression que l'atmosphère exerce sur les deux surfaces libres AB et CD du fluide ne péut en aucune manière troubler l'équilibre, puisque cette pression, rapportée à l'unité de surface, est la même partout; mais si l’on soustrait l’une de ces surfaces à l’action atmosphérique , en faisant le vide dans la partie supérieure du vase , il est évident que l'équilibre ne pourra plus sub: sister, et que le fluide s’élevera au-dessus du niveau dans celui des vases où il n’éprouve plus la pression de l'air. Pour trouver dans ce cas les conditions du rétablissement de l’équilibre , sapposons que le vide ait été fait dans le vase N , ct qu’on ait ensuite exactement fermé son orifice. La pression atmosphérique n’agissant plus quesur la surface AB du fluide, dans le vase M, forcera le fluide à monter dans le vase N, au-dessus du niveau ABCDen même temps qu’il s’'abaissera dansie vase Mau-dessous dece niveau; l'équilibre n’auralieu quelorsquela hauteur acquise dans le vase N sera suffisante pour contrebalancer la pression qui a lieu dans lé vase M. Supposons que cette condition est remplie, et que ab soit devenu le niveau du fluide dans le vase M, et c'd' son niveau dans le vase N. Nommons A la hauteur de c'd', au-dessus de cd, pris dans le plan horizontal du niveau ab. D’après ce qui précède, cest cette hauteur À qui contrebalance la pression de l'atmosphère ; ainsi la pression exercée sur la surface cd, par le fluide dont la hauteur est À, étant 9gh (cd), ou simplément dgh, en rapportant cette pression à l’unité de surface, si nous désignons par ! la pression de l'atmosphère, également rapportée à l’unité de surface, nous aurons :