FY

Cette valeur substituée dans y — »%, donne

abm YÆE -—

Vb—am

Les valeurs positives de æ et de y seront les coor- .

données OP et PM du point M, et les valeurs négatives de ces mêmes quantités, les coordonnées Op et pm du point »; et comme ces valeurs sont égales, indépendarment du signe, on a

{(0p = Op, et PM — pu

Ainsi les triangles rectangles OMP, Omp sont égaux, et l’on a MO — »710.

5. De toutes les droites qui , passant par le centre, rencontrent les deux branches de l’hyperbole, la plus courte est évidemment le grand axe. Cependant il est utile d'examiner comment cette circonstance est exprimée dans les valeurs précédentes de x et de y.

En examinant ces valeurs, on voit que leurs grandeurs respectives dépendent entièrement du dénominateur

commun VE — «nm , dont la grandeur elle-même dépend de la quantité variable »e, ou de la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe des x. La valeut de VE — œm est la plus grande possible lorsque 72 = 0» c’est-à-dire lorsque l'angle est nul ou que la droite se confond avec l’axe. Dans ce cas, les valeurs de xet dey se réduisent à re, y +0

Ce sont les coordonnées des deux extrémités de

l'axe transverse. En rendant 72 de plus en plus grand,

les valeurs de Vh? — æm° , deviennent de plus en plus petites; mais elles cessent d'être réelles, c'est-à-dire que la droite ne peut plus rencontrer la courbe, lorsque æm® devient plus grand que b*. La tangente du plus grand angle que puisse faire avec l’axe une droite qui rencontre l’hyperbole de part et d'autre et qui passe par le ceutre, est donc déterminée par la relation

b= @m qui donne b Mm=E a

Mais alors b— am — 0 etles valeurs de x etdey deviennent infinies, ce qui nous apprend qu’une droite dont la tangente trigonométrique, de l’angle qu’elle

: : : ou , fait avec l’axe , est égale à - ne rencontre l’hyperbole = ÿ

qu’à des distances infinies. Gette droite se nomme une asymptote. (Foy. ce mot.) Comme on peut mener par le centre O deux droites qui fassent, dans un sens opposé, le même angle avec l'axe, l'hyperbole a deux asymptotes.

HY

Lorsqu'on connaît la grandeur des deux axes, la construction des asymptotes ne présente aucune difficulté ; elle se réduit à décrire les droites, dont les équations sont

b b = =L, Y—=—-Xx.