AS

sent db B2 M= (ave Hd) + 2 (ere) i D Apa & * = (Ve) + a (ee)

Développant les carrés et réduisant , nous aurons

2 2\ 2? à ji AS À Di 4 Fi (a+b?)x* + 2a va br +a

(4 xs (avV/æ+b + a) a?

(ab) 0e x Va x b — a ET —

fM=

(va ti — a}

ce qui donne, en prenant les racines carrées, zV@ Er FM = éme +a aV/&+b° fM— EME. SE

La somme de ces quantités reste variable à cause de la quantité æ qu’elle renferme ; mais sa différence est :

FM — fM = 24

D'où il suit que les deux points F et f jouissent de cette propriété remarquable que: la différence des deux droites menées d'un point quelconque de la courbe aux points F et j'est une quantité constante égale à l'axetransverse. Ces points sont les foyers de l'hyperbole, et les droites telles que FM et f M, sont les rayons vecteurs de cette courbe. \

7. La propriété fondamentale dont nous venons d’obtenir la déduction sert à définir l’hyperbole , lorsqu'on la considère d’une manière indépendante de sa pénération dans le cône ; on dit alors que c’est une courbe dont la différence des distances dechacun de ses points à deux points fixes, est égale à une ligne donnée. En partant de cette définition on trouve son équation et l’on reconnaît que la ligne donnée est l'axe transverse. Cette propriété fournit aussi les moyens de construire facilement l’hyperbole.

Soient, en effet, F, f les foyers donnés de position sur une droite indéfinie F f, et soit 24 la différence constante ou le grand axe de l’hyperbole qu'on veut décrire.

Prenons à partir du point O, (Pr. 44, (fig. 1. ) milieu de F f, deux distances OA, OB égales au deimi premier axe a; les deux points A et B appartiennent a la courbe.

Pour obtenir d’autres points marquons sur la droite Of, un point arbitraire L, puis des paints F, f, comme centres, avec les rayons AL, BL, décrivons successivement des circonférences qui se couperont en M ct»; ces points appartiendront à la courbe, car, par la construction, la différence des droites menées de F et de JSaM et m est égale à la différence des rayons AL et BL, laquelle est précisément le premier axe AB = 24.

Réciproquement , des points f et F, comme centres, avec les mêmes rayons, décrivons dés circonférences de cercle ; Jes points M' et m' où elles se couperont appartiendront à l’autre branche de la courbe.

En opérant de la même manière nous pourrons obtenir des points assez rapprochés les uns des autres pour pouvoir ensuite décrireles deux branches de l'hyperbole.

8. Nous tirous encore, de cette même propriété des rayons vecteurs, un procédé pour décrire l’hyperbele par un mouvement continu.

Soient I et H (PL. 22, fig. 5) les deux foyers; si l’on place en I, l’extrémité d’une règle IT , mobile en I, de manière à pouvoir tourner autour de ce point , et que l’on attache en H le bout d’un fil HRT, dont l’autre bout soit attaché a celui de la règle IT, et si de plus la différence des longueurs de la règle et du fil est égale au premier axe 2a, il est évident qu'un styleR , qui glissera le long du fil en le tendant et en l’appliquant contre la règle, décrira par son mouvement un arc d’hyperbole, puisqu’àa chaque point R on aura IR—RH=—24.

9. Dans l’hyperbole, comme dans l’ellipse, on nomme paramètre, une droite troisième proportionnelle aux deux axes. C’est également, dans ces deux courbes, la double ordonnée qui passe par l’un ou l’autre foyer. ( Voy. Ecrirse, 8.) En désignant par p le paramètre de l’hyperbole, nous aurons donc encore

a æ et, en substituant cette valeur dans les équations (1) et (2) elles deviendront (3)

Ces dernières se nomment équalions au paramètre. La première est rapportée au sommet et la seconde au centre.

10. Lorsque les axes 24 et 2b sont égaux, les équations de l'hyperbole deviennent (4)

V—=924ax +2 Y? = 21

et cette courbe prend le nom d’hyperbole équilatère. L'hvperbole équilatère est, par rapport à toute autre hyperbole, ce qu'est le cercle par rapport à l’ellipse. 11. En résolvant l'équation au centre de l'hyperbole

équilatère par rapport à x, on obtient 222 VER

expression de laquelle résulte une construction, par

points, extrêmement simple, de cette courbe,

Divisons (Pr. 44, fig. 2) l'axe CM des y. en parties égales Ca, ab, be, cd, etc., et de chacun des points de divisions, menons des perpendiculaires indéfinies à cet axe; prenons sur chacune de ces perpendiculaires une partie égale à la distance de son pied au sommet A, c’est-à-dire, faisons aa'—@A, bb'—bA, cc'—cA, etc.

les points a’, b', c', d', etc. appartiendront tous à l'hyperbole équilatère. En effet, si par l’un quelconque de ces points, g' par exemple, on abaisse la perpendiculaire gx sur l’axe des +, on aura g'x—Cg; maisletriangle rectangle CAg donne

à cause de Ag — gg — Cx. Or, cette dernière égalité est la même chose que

gL—X?— «a ainsi g'x est une ordonnée, et le point g’ appartient à la courbe.

12. Tout ce qui a rapport au problème de mener des tangentes aux courbes devant être exposé au mot Tangente, nous nous contenterons ici de faire connaitre un procédé particulier à lhyperbole, dont la ressemblance avec celui que nous avons donné pour l’ellipse(7’oy. EL LIPSE O) fait encore ressortir la grande analogie des deux courbes.

Soit O le point de l’hyperbole où il s’agit de mener une tangente (PL. 44, fig. 3) ; des foyers F , f, menons les rayons vecteurs FO, /O, et prenons sur fO, Om égal à FO. Du point g, milieu de la droite qui joint les points Fet », menons TO; cette droite sera la tangente demandée. En effet, cette droite ne peut avoir que le seul point O commun avec la courbe, car pour tout autre

point o, en menant fo, mo,Fo, on ne peut avoir Jo —Fo—2a— AA,

propriété caractéristique des rayons vecteurs, puisque, si cela était, on aurait, par la construction,

Îo — om— fo —Fo=— 2a —/fm

d’où fo —0om+ fm, ce qui est absurde. Tout autre point que O, pris sur la droite TO, ne peut donc appartenir à la courbe et, par conséquent, cette droite lui s 1 tangente en O.

La construction précédente nous apprend immédiatement que les angles formés par la tangenteet les deux rayons vecteurs menés au point de contact sont égaux. Car le triangle mOF étant isocèle , et TO passant par le

5 1 4 milieu desa base mF, les angles OT et TOF sont égaux

Propriété commune avec l’ellipse.

13. On nomme hyperboles conjuguces deux hyperboles comme celles de la fig. 4 , pl. 44 , qui ont le même centre et dont l’une a pour premier axe le second axe de l’autre. Les deux courbes ayant nécessairement les mêmes asymptotes, puisque ces droites sont données pour l’une et pour l’autre par les diagonales du même rectangle ACBD (foy. ci-dessus n° 5), il en résulte que leurs branches prolongées ne se rencontrent qu’à l'infini, puisque ce n’est qu’à l'infini qu’elles atteignent leurs asymptotes communes.

14. Toutes les droites qui, passant par le centre, rencontrent les deux branches d'une hyperbole senomment ses diamètres. Nous avons vu, n° 4, que le centre les partage en deux parties égales.

Lorsque deux diamètres, dont l’un appartient à une hyperbole quelconque, et l’autre à sa conjugaée, sont tels que le premier est parallèle à la tangente menée par l’un des points où le second rencontre sa courbe, ils prennent le nom de diamètres conjugués. Les deux axes forment un système de diamètres conjugués.

Si l’on prend deux diamètres conjugués pour axes des coordonnées, les coordonnées deviennent obliques, mais les équations ne changent pas de forme(#’oy. rRANs- FORMATION } et l’on peut reconnaitre facilement les propriétés suivantes, que nous devons nous contenter d’énoncer. 1° Un diamètre quelconque partage en deux parties égales toutes les cordes mences parallèlement à son conjugué. 2° Le parallélogramme construit entre deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle des deux axes principaux. Ce parallélogramme et ce rectangle sont dits inscrits à l'hyperbole. 3° La différence des carrés de deux diamètres conjugucs est cgale à la différence des carrés des axes.

Il résulte de cette dernière propriété que dans l’hyperbole équilatère deux diamètres conjugués quelconques sont égaux.

15. On voit d’après ce qui précède que toutes les propriétés de l’eilipse se retrouvent dans l'hyperbole, sauf de légères modifications pour quelques-unes d’entre elles ; cependant il en existe de particulières à cette dernière courbe que nous devons signaler ; elles sont rela-

tives aux asymptotes.

Pour obtenir l'équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes il suffit de transformer les coordonnées rectangulaires de l'équation.

EI Diner)

en coordonnées obliques par les procédés connus. Sub-

stituons donc à la place de x et de y les valeurs générales (Foy. TRANSFORMATION ).

X = COSx + ycosa" y = zsina+-ysinx" Nous obtiendrons, après les réductions, (a) (asina" — b2cos?'}y?

+ (2asinasinx" — 2b?cos x. cos x')ry + (aæsina— b’cosa ) x?

=— mb

Mais les angles «, #’ étant ici les angles que font les asymptotes avec le premier axe, nous avons (voy. ci-

dessus, n° 5)

t k tang a’ à D£ A—=— - = — 6 a 8 2 d’où : b COS a — — 3 SN = ————— Var Var , a ASE b COS SE Væ+b Va+is nous avons donc aussi b ,. @b—æbt asin?x—bcose! = — — 1 LA & æ + ñ . ab— ab?

2sin?@ — be = —— — 0 a [4 (- 2 ab à nr Ce 24 sinx.sinz! — 2b?c0s «. COS & be 0 L’équation générale (a) devient donc, en substituant ces valeurs a+ b?

LYi== —

Telle est l'équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes.Elle nous apprend que le rectangle formé entreles coordonnées est une quantité constante; cette quan-

tité, -, que nous désignerons par c?, se nomme

puissance de l’hyperbole.