LOGARITHMES HYPERBOLIQUES. (Ÿ’0Y. LOGARITHME

SiNUS HYPERBOLIQUES. (’oy. Sins. )

HYPERBOLOIDE ou coNoÏDE HYPERBOLIQUE.(Géomm.) Solide formé par la révolution d’une branche d’hyperbole autour deson premier axe.

Pour obtenir le volume de l’hyperboloïde il suffit de

remplacer dans la formule générale V= fry dx (Foy. Curarure), l’ordonnée y par sa valeur prise

dans l’équation de la courbe génératrice. Or, en comp-

tant les ordonnées du sommet, cette équation étant

b Er), (voy. HYyPERBOLE, 1), nous aurons

V — FE f ax+a)dr

dont l'intégrale est rbx* rb?x

Na

Il n’y a pas besoin d'ajouter de constante, parce qu’en faisant x —=o le solide s’anéantit.

Ainsi en désignant par À la hauteur du solide ou faisant æ—h on a, pour l'expression du volume de l’hyperboloïde,

y __ 7bth rb2h5 a 3a°

Dans le cas de l’hyperbole équilatère, ou lorsque a=b, cette expression devient

d’où nous voyons qu’il existe toujours un rapport commensurable entre l'hyperboloïde équilatère.et la sphère dont le rayon est égal à sa hauteur k, En effet, le volume de la sphère qui a À pour rayon est (voy. SPRÈRE)

STATE Vi Es

ainsi

Ce rapport nous apprend que si hk—a, c'est-à-dire, que si la hauteur de l’hyperboloïde équilatère est égale à la moitié de l’axe transverse de l’hyperbole génératrice, le volume de ce solide est équivalent à celui de lasphère qui a cet axe pour diamètre.

Nous verrons au mot QUADRATURE , comment on détermine la surface des solides de révolution.

HYPOTHENUSE, (Géom,) (de re sous et de rifnus je pose ) Nom par lequel on désigne le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit. (Joy. TriAn GLE.) L'hypothénuse jouit d’une propriété très-remarquable dont la découverte est due à Pythagore, c’est que Le carré construit sur cecôte est équivalent à la somme des carres construits sur les deux autres côtés. Cette propo-

sition senomme le Théoréme de Pythagore.

HYPOTHESE. Proposition ou partie de proposition que l’on pose comme base, ou comme point de départ, pour en déduire des conséquences relatives à un objet en question. Par exemple, dans la proposition : Jeux triangles qui ont leurs trois angles égaux chacun à chacun sont semblables ; l'uxrornëse dont on part est cette égalité des angles qui sert ensuite à reconnaitre la seconde partie de la proposition, c’est-à-dire, la similitude en question des deux triangles.

ICHNOGRAPHIE.( Géom.) ( de ixvos trace et de ypugo je décris.) Plan géométrai d'un édifice ou trace d’un objet quelconque sur le plan horizontal qui lui sert de base. Joy. PLax.

ICOSAËDRE ( Géom.) Solide régulier terminé par vingt triangles équilatéraux et égaux entre eux. C’est un des cinq corps réguliers. Voy. Socrne.

IDENTIQUE. (4{g.)On nomme équation identique, celle dont les deux membres sont les mêmes, ou se réduisent à la même quantité. Telle est, par exemple, (a+axa—x)=a—x?, quiaprès la réalisation des calculs indiqués devient æ—x'—a—x;d'où, en faisant tout passer dans le premier membre, @47—x?—a2+4+27=0; c'est-à-dire o—0. Ces équations ne peuvent faire découvrir que les différentes formes de la génération des quantités , mais elles ne sauraient conduire à aucun ré-

sultat pour la solution des problèmes.

IDES. Terme du calendrier romain, Foy. CALEN- DRIER ; 14:

IMAGE. (Opt.) Représentation d’un objet que l’on voit soit par réflexion, soit par réfraction à l’aide d’un appareil d'optique. (Foy, Minor, Venre.) (ay. aussi CATOPTRIQUE.)

HY IMAGINAIRE,. (4/g.) On nomme, assez improprement, quantités imaginaires, les racines paires des quantités négatives dont la forme générale est

2m À eat \/— A

Ces quantités n’ont, à la vérité, qu’une existence ou qu'une réalité idéale, mais leur génération, que nous allons examiner, n’a absolument rien de commun avec les produits de la faculté psycologique nommée imagination.

1. Nous avons vu { ALcèore, 38 ) que les nombres dits imaginatres tirent leur vrigine de la branche inverse du troisième et dernier mode de la génération élémeñtaire des quantités et qu’on pouvait ramener léur considération à celle d’une racine paire de (—1) puis-

Rss 2m 2 qu’on a en général |/—A=M.\/—1, M étant la quan-

tité réelle VA. C'est donc seulement la génération de 2m V—1, qui doit nous occuper.

Or la génération par puissance de l'unité positive ou négalive, en prenant pour base l'unité négative, est évidemment de la forme

(—i) = Et

Savoir (—1)"—+1,lorsque p ést pair, et (—1)“——1, lorsqu'il est impair; g étant d’ailleurs un nombre entier quelconque. Ainsi pour concevoir cette génération dans la continuité indéfinie dont elle est susceptible , nous devons considérer le nombre p commeënfiniment grand, et alors la base (—1) deviént le facteur élémentaire {voy ce mot) de la puissance —1. Mais pour ne nous occuper ici que de l’unité négative, désignons par &' un nombre impair infiniment grand, nous aurons

Qu'on ne s'étonne point de nous voir distinguer les nombres infinis, en pairs et impairs, car si ces nombres appartiennent à une sphère de grandeur où plutôt à un ordré de Connaissances entièrement différent de celui des nombres finis { doy. Dirrénence, 24), la ia SON, faculté supérieure dé l'intélligenéé, dont ils sont lé produit, peut établir entré éux tôutes les relations qui existent entre cés dérnièrs nombres, et ce n’est mème qu’à l’aide de ces relations qu'elle peut arriver à son but mathématique, celui d'apporter la dernière unité intellectuelle dans la génération, non de la quantité finie elle-même, mais de la connaissance que nousavons de cette quantité.

En partant de cetté: génération indéfinie de l'unité

HY 103 négative , il devient évident que lorsqu'il s'agira de prendre une raciue à exposant pair de cette unité , l’opération sera émpossible en réalité et toutefois elle sera possible en idée, et c’est là l'opposition transcendantale , ou l’antinomie que présentent les quantités dites imaginaires qui, ne pouvant être ni posiives ni negalives, semblent impliquer une absurdité, démentie cependant par l’exactitude rigoureuse de tous les résultats qu'on obtient en les employant. En effet, et nous nous contenterons ici de rapporter les propres paroles de l’auteur de la Philosophie des mathématiques , « on voit

» qu’en prenant une partie paire de l'exposant @', par LA

» exemple —- ,72 étant un nombre entier quelconque,

» on aura pour la racine 2m de l’unité négative une

» partie des facteurs élémentaires (—1) du schema ( dé

» la forme universelle),(—1)*——:1, exprimée par @" PE À

D» —-=— œ"+E , " étant le nombre entier le plus 2m 2m

co : ‘ » grand contenu dans —, et p un nombre impair et 2m

» plus petit que 2» ; de manière qu'après avoir pris » "facteurs élémentaires (— 1), il restera à prendre

» une partie P es facteurs élémentaires du second 2m

» ordre, qui composent l’un des facteurs élémentaires » (—i)du preinier ordre. On peut donc recommencer la » méme opération idéale sur le facteur réstänt du pre- » mier ordre (—1), et on peut la continuer ainsi à » l'indéfini. Or ce sont les nombres correspondans à » cette génération idéale possible ,et dont le caractère » consiste précisément dans cette possibilité de généra- » tion idéale qui forment les nombres qu'on appelle » très-inexactement nornbres imaginaires.

» Telle est la déduction métaphysique de ces nom- » bres vraiment extraordinaires qui forment un des phé- » nomènes intellectuels les plus remarquables, et qui » donnent une preuve non équivoque de l'influence » qu’exerce dans le savoir de l’homme la faculté lé- » gislatrice dela raison, dont ces nombres sont un pro- » duit en quelque sorte malgré l’entendement. On voit » actuellement que loin d’être absurdes, comme les enginaires » sont éminemment logiques , et, par conséquent , très-

» visageaient lesgéomètres, les nombres ditsima

» conformes aux lois du savoir ; et cela parce qu'ils éma- » nent, et en toute pureté, de la faculté même qui » donne des lois à l’intelligenee humaine. De là vient la » possibilité d'employer ces nombres, sans aucune con- » tradiction logique, et dans tontes les opérations al- » gorithmiques ; dé les traiter comme des êtres privi- » Jégiés dans le domaine de notre savoir, et d’en dé- » duire des résultats rigoureusement conformes à la rai- » son. (Wronski. Zntrod, à la philosoph.des math.)

2. 1l résulte de ce qui précède que toutes les quantités dites imaginaires sont de la même nature, puisqu'elles ne diffèrent entre elles que par la valeur de l’exposant et qu'elles sout rigoureusement identiques dans ce qui concerne leur génération idéale; ces quantités doivent donc avoir la même forme daus leur expression, ou pouvoir s'exprimer au moyen de l’une d’entre elles. Il est effectivement reconnu qu’on peut obtenir l’expres. sion algébrique d’une quantité imaginaire quelconque à

l'aide de la plus simple de ces quantités, savoir V/— 1. C’est ce que nous allons démontrer.

La forme générale des quantités imaginaires étant

pour plus de généralité, donnons un exposant quelconque » à cette quantité , et nous aurons

gi SUR NE a Rs

(=) = Or, quel que soit À, on a toujours A— 1 — (1—A); ainsi l’on peut mettre la quantité proposée sous la forme

d’un binome et en obtenir le développement par les formules connues ( V’oy. Binome DE NEwron). Nous

avons donc == (GG) Et, par conséquent, (1) er n — (V=Dm =1— AGRV SI} n(r—m) sf TE (1—V/—1) + etc.

Mais les puissances successives (1—\/—1), (1—V/—1}, etc., qui entrent dans ce développement peuvent être mises sous une même forme, puisque l’on a généralement, p étant un nombre entier quelconque

(y Ip —1 PE 4 p(p—1)(p—2) + a. ce V—i ne p—3) ni 120904

expression dans laquelleles termes sont alternativement réels et imaginaires, Désignant par a la somme des termes récls

— etc.

P(p=—1), P(p—1\p—2Xp—3) Pers ai 1.2.3:4 me

Et par b, celle des coefficiens de V/— 1, nous aurons

Vi) = ap + bp

HY

Donc, dans les cas particuliers de p=1,p=— 2 p = 3, etc., les puissances de (1 — \/ — 1 formes

ab /—1 , 2H BV, ab, V/—5, etc.

Substituant ces quantités dans le développement général (1), il deviendra

) auront les

V=nm= rt (ab, V1)

+ (ab) Em — etc...

Effectuant les multiplications indiquées, lesecond nombre de cette égalité sera composé de deux suites de termes, les uns réels et les autres imaginaires; et désignant enfin par A la somme des termes réels

n(n—min—2m)

nl n(n—m) 2 ND ,1.2.3

as +etc..

et par B la somme des coefficiens réels de / — 1,

bsHetc.,,

n(n—m)(n—2m) | ma2.30

nous parviendrons à l'expression finale

2m L (5) = A+BV—1 dans laquelle A et B sont des quantités réelles positives ou négatives.

Il est donc démontré que toute quantité dite #naginaïre Vs , et même que toute puissance de cette quantité peut s'exprimer au moyen de la seule racine seconde de — 1, et que la forme de cette généra-

tion est A+ BV/— 1.

3. Nous avons reconnu ( voy. PERS AUX PUISsaAncEs) qu’une racine de l’unité pouvait admettre plusieurs valeurs différentes, et nous avons donné (voy. Equariow, 29) l'expression générale de ces valeurs dont le nombre est précisément égal à celui de l’exposant de la racine. Il nous reste a examiner la possibilité de cette pluralité de valeurs; c'est ce que nous allons faire en partant de la génération même de l'unité.

4 étant un nombre entier quelconque, y compris zéro, ou peut représenter tous les nombres pairs, 2 4-1 tous les nombres impairs , et nous avons

(—1}# = + r-et (—1}4ti = —1I Une racine du degré quelconque n sera donc VE (1)

2ERL

Va =) 27

HY

ou ,

ue 9°

Vi = (—i)9. (in

VE: = (—1 JP.

p'etg'désignantles restes des divisious de 24 etde 2:41 par », et p etq les quotiens de ces divisions. Or p étant un nombre arbitraire et par suite p'et g' étant aussi des nombres arbitraires compris entre les limites o et », il est évident que les racines en question ont autant de générations différentes qu'on peut prendre de nombres différens pour p' et g'. D'abord, en commençant par l'unité positive, si z est un nombre pair, p' doit être pair aussi, puisque l’on a dans ce cas

2e =pntp

ne n

p' peut donc être indifféremment l’un des -nombres

0,2,4,6,etc., jusqu’à? —2, et comme en outre il

La —— peut être positif ou négatif, il s’en suit que V/—-1 admet n valeurs différentes, correspondantes aux 72 valeurs

pre P : c différentes du facteur (—1) ;; parmi ces 7 valeurs, il

LT É — yen a> qui sont données par les valeurs positives de p',

n ce ds et ; Par ses valeurs négatives, c'est-à-dire, qu’on a

VHi pote hi P2 Vi = (y. (5)

p pouvant être d’ailleurs pair ou impair. ;

En faisant p pair, (—1)? devient (1), et en le faisant impair, (—1)7 devient (—1). Chacune de ces suppositions fournit bien » valeuts pour V/+1 ; mais elles sont les mêmes, et V/+1 n’admet que » valeurs réellement différentes.

Si » est un nombre impair, p' peut être encore un nombre pair quelconque plus petit que 2, positif, négatif ou zéro; alors p est nécessairement pair et l’on a

Va) x | Vis Cé qui ne donne encore que x générations différent es pour PH, puisque des as valeurs qui résultent de

chacurie de ces expressions, celles qui correspondent à + p'=0, ét à — p'—0o sont identiques et égales à Quant dux racines de l'unité négative , ilse présente TOME I,

HY

également deux cas, savoir : lorsque l’exposant 7 est

pair, et lorsqu'il est impair; dans le premier, g' peut être un nombre impair quelconque, positif ou négatif, plus petit que x, d’où

q pouvant être indifféremment pair ou impair; dans le second Cas, g' peut être un nombre pair quelconque, positif, négatif ou zéro, d’où

g étant nécessairement impair. Îlest visible que dans l’un et l'autre cas V/--1 recoit » générations différentes.

De toutes ces valeurs des racines de l’unité positive et négative, il n°y a évidemment de réelles que les valeurs + ret — 1; toutes les autres sont #raginaires. Ainsi, lorsque 7 est pair, V1, a deux racines réelles. + x et— 1 et 2 — 2 racines imaginaires; et V—1 a toutes ses racines imaginaires ; lorsque n est impair, V+ia une seule racine, + 1, réelle, et n—1, racines imaginaires ; et V—1,a une racine réelle — 1, et a — 1 racines. imaginaires. C’est ce que l’on reconnait facilement à l'inspection des formes générales qui pré-

cèdent.