YF —= G—2t
Di=
dans lesquelles £ est un nombre entier, depuis o jusqu’à 2.
La recherche des formes particulières de la génération des nombres, ou, plus généralement, les propriétés, tant de génération que de relation des nombres, constituent une branche de l'algèbre nommée THÉORIE DES nompnes , dont l'analyse indéterminée est elle-même une partie : celle où les nombres que l’on considère dépendant de la valeur des quantités au moyen desquelles ils sont donnés, demeurent indéterminés. (Foy. Tu£oriE DES NOMBRES. ) Le
La Théorie des nombres ou du moins l'Analyse indéterminée, paraît être la partie de la science générale des
IN
uombres dont la connaissance est la plus ancienne. D’après quelques aperçus consignés dans l'ouvrage d'Euclide, on voit que des recherches assez étendues avaient été déjà faites, avant lui , surles propriétés dès nombres ; et ce qui nous reste de Diophante n’est qu’un traité d’analvse indéterminée qui reuferme des questions difficiles résoluesavecune grande adresse. [l paraïitégalement; d’après une Algébre indienne, publiéeil y a peu d'années, queles Indiens sont depuistrès-long-temps en possession de diverses connaissances sur cette branche de la sciénce et que dès le 12° siècle ils avaient découvert des règles pour la solution de certaines équations indéterminées, Quoi qu’il en soit de cette antiquité de la Théorie des nombres, ses véritables progrès ne remontent pas plus loin que le temps de Viète et de Buchet de Meziriac. C’est à ce dernier que l’on doit la première solution générale de l’équation indéterminée du premier degré.
Bientôt après, Fermat, l’un des plus grands géomètres de son siècle, fit faire un pas immense à la théorie des nombres, en découvrant un grand nombre de théorèmes intéressans , dont la démonstration de quelquesuns occupe encore les mathématiciens modernes; car, d’après la coutume des géomètres du 17° siècle qui cachaient leurs méthodes pour se proposer des défis, Fermat publia ses découvertes sans les démonstrations et parmi celles qu’on a, retrouvées dans ses papiers ; il est à regretter que les plus importantes manquent.
Euler, dont le nom s’attache à toutes les parties des mathématiques, ne pouvait laisser la théorie des nombres dans l’oubli qui succéda tout à coûp à l’espèce d'enthousiasme qu’elie avait excitée jusqu’à la mont de Fermat. Oubli assez naturel alors, puisqu'il était causé par la direction nouvelle qu’apportait aux géomètres la découverte du calcul différentiel. Dans de nombreux mémoires, publiés dans les commentaires de St.-Pétersbourg, Euler a étendu nos connaissances sur les nombres et on lui doit uñe foule de découvertes, parmi lesquelles nous devonsciter la résolution générale des équations indéterminées du second degré, dans le cas où l’on connaît d'avance une solution particulière, Enfin Lagrange, Legendre et Gauss, par leurs travaux ultérieurs, ont amené la théorie des nombres à un degré de développement égal à celui desautres branches de l'algèbre,
C’est Gauss particuhèrement qui a donné une forme systématique à la théorie des nombres, en introduisant dans la science la considération du principe de com gruénce (voy. ce mot), dont nous exposerons ailléurs la dédüétion philosophique (Foy. Tiréonie Dés noMants). Nous nous bornerons, dans cet article, à faire connaître la résolution générale de l’équation indéterminée du second degré ; due à Lagrange; celle dé l'équation du premier degré ayatit déjà été donnée aü mot Conénurnér, (n° 10.) Quant aux équations des degrés supérieurs dt
second il n’existe point encore de méthode générale : pour les résoudre.
E. On peut toujours ramener une équation du second degré à deux inconnues à la forme
x? — My: — N
car, cette équation entièrement complète étant ( Foy. EqQuarion , 6.)
ax? + bxy +cy° +dx+cy +f—=o nous pouvons d'abord l'écrire ax? + (by +-d)x =— cp — dy —f
Multiplions ensuite les deux membres par {a et ajoutons de part et d'autre la quantité ( #ÿ d}°, nous aurons
Gax+{a(by+d)x+(by+d)={(by+d)—4a(cy+er+f)
mais, le premier membre étant un carré parfait, en extrayant la racine, il viendra
da 4h +4 = V](o+d} —iale tort ] —\Ÿ7 (bs—4ac}y2Lo(bd—ae)y
+d-{4af
ainsi faisant
b—/ac = A bd—sae — g {af = h
et désignant de plus le radical par #, nous obtiendrons les deux équations
2ax + by +d = Ays + ogy he
multiplions maintenant la dernière par A, elle deviendra.
A:y#o9Ay+ARh — At ou, encore, A°ÿs%96AyEg Ah gs — AIR c'est-à-dire ,
(Ay—-g}— At —g— Ah faisant donc
Ay+g=u g— Ah—B
nous obtiendrons définitivement w—Ar=RB
ce qui est la forme en question.
En remontant à æety,ona
d’où l’on voit que tous les nombres qui satisferont à la transformée, donneront immédiatement la solution de l'équation générale.
2. Les nombres v, 1, pouvant être des nombres entiers ou fractionnaires, si nous les supposons réduits au
même dénominateur, ou si nous faisons en général,
F4 U—= =, t—7 la transformée deviendra x'—Ay° — Bz°
dans laquelle x, y et z sont des nombres entiers. C’est donc cette dernière qu’il s’agit de résoudre,
3. Nous supposerons de plus, 1° que les nombres x, 7,2 sont premiers entr’eux, ce qui est toujours possible, puisque dans le cas où ces nombres auraient un commun diviseur, on le ferait disparaitre en divisant; 2° que A et B n’ont aucun diviseur carré; car dans le cas contraire, a, par exemple, on pouvait poser À — A'x?, B— B'£;
en faisant «y — y' et Bz — z' l'équation deviendrait
= A'y'"? —hB'z"
et réunirait alors les conditions demandées.
Cela posé, il est évident que deux quelconques des quantités æ,y,zne peuventavoir aucun facteur commun, car si» divisait æ et y, par exemple, »? diviserait æ° et7?, et devrait conséquemment diviser Bz?, mais »? ne saurait diviser z*, puisque x, y, z n’ont point de commun diviseur; il ne saurait non plus diviser B puisque ce nombre n’a pas de facteur carré; donc æ ety sont premiers entr’eux et il en est évidemment de même de æetzet deyet z.
