Soit donc proposée l'équation

x?—Ay — B=

ayant toutes les conditions énoncées ci-dessus et dans laquelle nous supposerons en outre À et B positifs et BA. Cette dernière condition est toujours possible, puisque l’équation proposée peut se mettre sous la forme :

x?—Bz — Ay?

c'est-à-dire, qu’on peut prendre pour second membre le terme qui a le plus grand coefficient.

Or, si l’équation (1) est résoluble en nombres entiers, comme les valeurs de x sont dépendantes de celles de J, nous pourrons donner aux premières Ja forme

az =ny—By

ñ et y' étant deux quantités indéterminées. Substituant

cette forme à la place de x dans l'équation (1), nous’ obtiepdrons , après avoir divisé par B, (2)

mais Bet y sont premiers entr’eux, car tout diviseur commun entre B et y* diviserait x? et nous avons vu que x et y sont premiers entr’eux ; ainsi l'équation (2)

ne peut subsister si (5 n’est pas un nombre en-

tier. Faisons donc cet entier, que nous apprendrons plus loin à déterminer, égal à B'Æ, 4 étant le plus grand carré qui puisse le diviser et (3) deviendra (4)

B'£y—onyy + By’— 2.

Faisons dans cette dernière, après l'avoir multipliée par B'X,

B'ky —ny! =x! , Kkz = 2 elle deviendra

pen AY? — B'z2.

transformée exactement semblable à la proposée, mais dans laquelle B' sera plus petit que B. En effet, s’il y a une valeur quelconque de 7 qui rende 7? — A divisible par B, en ajoutant à cette valeur un multiple quelconque de B, ou en le retranchant, n° + y B— A sera aussi divisible par B ; ainsi on peut supposer que la valeur de » est comprise entre les limites o et B, et même

entre les limites se étroites o et + B; doté n étant

plus petit que:B, — ie B' sera <[+B, eten même

EF temps positif.

Si l’on avait encore B'=> A , on pourrait, en opérant de la même manière, transformer

x'— Ay'? == B'z2 en LUI Ay"? = B'z"

dans laquelle B” serait + B', et toujours positif. Dans le cas où l’on aurait aussi B"©>A, on continuerait ce système de transformation jusqu'à ce qu’on soitarrivé à une équation

x? — A = Cr

telle que C soit plus petit que A.

Alors après avoir fait passer dans le premier membre le terme qui a le plus petit coefficient, ce qui donne

L?=—Cz— AY

On procèdera, comme ci-dessus, à la réduction du coefficient A, jusqu'a œ que l’on trouve une transfor-

mée

IN A2— Cz2 = D:

dans laquelle D sera <C.

Continuant ces réductions, on parviendra nécessairement à une dernière transformée dont l’un des coefficiens sera l’unité, car les nombres B, A, C, D étant positifs et décroissans, doivent se terminer par l’unité. Arrivée à ceterme , l'équation finale qui sera

x’—y* =Mz où x'—7 —My

peut se résoudre immédiatement, et sa solution fera connaître celles de toutes les équations précédentes, et enfin celle de la proposée.

5. Avant de procéder à la solution de l’équation finale, nous devons faire remarquer que pour passer d’une transformée

x'?— Ay' = B'z"° à la suivante x"?—Ay" —B"z2

on n’a pas besoin de remplir une nouvelle condition, et qu'ayant déjà trouvé

si l’on fait n — mB'+n', et qu'on prenne l’indéterminée »# de manière que n' soit <Z.: B', on aura nécessairement pour n° — A B' un nombre entier positif plus petit que B’ 0 D 8 1 6. Pour résoudre l'équation finale, que nous supposerons ”

a — y? = Mz,

décomposons M en deux facteurs «, £, et concevons z décomposé aussi en deux facteurs p et q ; nous aurons M = 28,2 — pq, et l'équation deviendra

ay = (ar) (en = 26 pq Nous pourrons donc poser 2HY= ap, et x —y = Big"

ce qui nous donnera

aie a p?— 2 = ar 2 = pq

Ainsi les trois indéterminées seront exprimées au moyen de deux nombres arbitraires p et g. Si les valeurs de x et de y contenaient le facteur ! on le ferait disparaître en multipliant à la fois x,y et = par 2

La solution de l’équation x?—y?—Mz? comprendra donc autant de formules particulières qu’il y a de ma- nières de décomposer M en deux facteurs, Par exemple, si M—15, comme il n’y a que deux décompositions, savoir r et 15, 3 et >, nous obtiendrons les deux solutions suivantes de x?7—7—152?.

I Il æ=p'+15q, x = 3p +59.

zx —2pq ,; Z = 2pq.

7- L'application de ces formules à des cas particuliers entraîne souvent de longs calcuisque l’on peut abréger, lorsqu'on ne veutque des valeurs entières, par un grand nombre d’artifices ; mais nous ne pouvons nous y arrêter. Nos limites nous empêchent également d’exposer la méthode plus directe de résolution, fondée sur les fractions continues, qui ramène la solution de l’équation.

æ'—Ay? = #t.B

à celle de l'équation particulière

Min — ET

Nous ne pouvons que renvoyer nos lecteurs à la Thcorie des nombres de Legendre et aux Disquisitiones arithmeticæ de Gauss. Il existe une traduction française de ce dernier ouvrage due à M. Poullet-Delisle.

INDICTION. (Calendrier.) Cycle en usage dans le calendrier ecclésiastique et dont l’origine n’est point exactement connue. C’est une période entièrement arbitraire, qui ne repose sur aucune considération astronomique , comme les cycles solaire et lunaire (Voy. Ca- LENDRIER). Sa durée est de 15 ans.

Ca trouve l’année de l’indiction romaine en ajoutant 3 au nombre de l’année de l’ère chrétienne, et en divisant ensuite par 15; le reste de Ja division, s’il y en a un, marque l’indiction de l’année proposée; s’il n'y a pas de reste, l’indiction est 15. Si, par exemple, on cherche l'indiction pour l’année 1836, il faut diviser 18363, ou 1839 par 15, le reste 9 est l’indiction demandée.

INDIVISIBLES. (Gcom.) On désigne par ce mot les élémens infiniment petits, dans lesquels une figure géométrique peut être décomposée.

La Méthode des indivisibles, dont le principe philosophique repose sur la génération indéfinie de l’éteadue, a été introduite dans la géométrie par Cavalieri en 1635, dans son ouvrage intitulé : Geometria indivisibilium ; adoptée d’abord par un grand nombre de géomètres, au nombre desquels nous devons citer Torricelli, l'abus qu’on en fit bientôt, en voulant l’employer dans les propositions les plus élémentaires, fit ensuite mettre en doute l'exactitude de ses principes, et, malgré son uti-

lité incontestable et sa fécondité prodigieuse, elle ne put échapper à l’ostracisme jeté par la prétendue philosophie du dernier siècle sur toutes les considérations mathématiques fondées sur l’idée de l'infini. Bien loin donc de développer une méthode qui n’est au fond, pour l'étendue, que ce qu'est le calcul différeutiel pour les nombres, les géomètres modernes ont cru marcher dans la voie du progrès, en adoptant exclusivement la Méthode d'exhaustion des anciens, dont le procédé, purement inductionnel ne conduit à la vérité que par de longs détours (Foy. Méruons).

INDUCTION. Jugement par lequel on conclut du particulierau général ou des faits aux lois: Par exemple, si, après avoir démontré, dans le casoù 72 et » sont des

nombres entiers positifs, que an Dé ar = an+n

on en concluait que cela doit avoir lieu pour toutes les valeurs possibles des exposans 72 et », on jugerait par induction. Un tel procédé ne doit être employé qu’avec les plus grandes précautions, car il existe un uombre considérable de cas dans lesquels une expression algébrique dont la généralité parait appuyée sur de nombreuses valeurs particulières, se trouve subitement en défaut. Telle est par exemple la formule remarquable

DH xx qui donne unesuite de nombres premiers, en y faisant æ—1,2,3,4,5, ctc.; elle fut présentée comme une loi générale, et cependant elle n’est exacte que jusqu’au quarantième terme.

L’induction, considérée comme fonction intellectuelle, porte sur la transition opérée entre les facultés de la Raison et de l'Eutendement par la faculté intérmédiaire du Jugement, à laquelle elle appartient. On voit donc d’après son origine, qu’elle ne peut conduire qu’à des résultats de plus en plus probables, mais qu’elle ne saurait par elle-même atteindre à aucune certitude.

INÉGALITÉ. (451) Terme très-employé dans l’astronomie, pour désigner toutes les irrégularités des mouvemens des planètes. On dit première inégalité, seconde inégalité, etc. Voy. EqQuarTioN, Luxe , PLANÈTE.

INFINI. Ce qui n’a point de bornes. Appliqué aux quantités, ce terme désigne celles qui sont plus grandes que toutes quantités assigoables, ou pour lesquelles il n'existe pas de rapports avec les quantités finies. Nous avons déjà établi, au mot Dirréeenriez , la différence qui existe entre les quantités finies et infinies, et entre les quantités finies et infiniment petites; comme aussi la véritable acception du mot indefint ; nous y renverrons donc.

Une quantité infiniment grande, s'exprime en général

par le signe @, et une quantité infiniment petite pan 5.

IN Par suite, ©? est infiniment grand par rapport à c, TOR : < :

et infiniment petit par rapport à 2 ; Aussi oo repré-

sente une quantité infiniment grande du second ordre,

#3 une quantité infiniment petite du second ordre ;

et œset! sont également des quantités infiniment

grande et infiniment petite du éroisième ordre, et ainsi de suite.

a étant une quantité finie quelconque, on à les relations.

= 0 — œæœ voXæ—a

mais daus ce cas zéro doit être considéré comme une quantité infiniment petite et non comme un zéro absolu.

INFINITÉSIMAL. Le calcul infinitésimal n’est autre chose que le calcul différentiel, traité, comme nous l'avons fait, par la méthode des accroissemens infiniment petits. et non par la méthode des limites ou par toute autre méthode indirecte.

MéruoDes INFINITÉSIMALES. /’0y, MÉTHODE.

QUANTITÉ INFINITÉSIMALE. C’est une quantité infiniment petite.

INFLEXION. {Géom.) On nomme point d'inflexion dans ane courbe, le point où de concave elle devient convexe et réciproquement:

Par exemple, le point I ou Ja courbe AT, de la première figure, qui devient convexe par rapport à l’axe IB de concave qu’elle était avant, est un pornt d'inflexion.

Lorsque la courbe change brusquement de direction, comme dans la seconde et dans la troisième figure, et rebrousse son chemin, le point où cela a lieu prend le nom de point de rebroussement.

Les points tant d’inflexion que de rebroussement, sont compris sous la dénomination générale de points singuliers. Voy. Point.

INFLECTION. (Ope.) Déviation qu’éprouvent les rayons de lumière, lorsqu'ils rasentles bords d’un corps opaque. C’est la même chose que ce que l’on Pose “plus communément DrFFRAGTION.

La découvérte de cette singulière propriété, qui ren- Fefmé le seal câractère matériel qu'on peut réconnäître dans la lumière, est due au père Grimaldi, savañt jé-

suite; le docteur Hook l’avat également reconnue ; mais c’est à Fresnel, qu’on doit la connaissance exacte

de toutes les circonstances du phénomène.

INFORMES. {45t.) Nom que les astronomes ont donné aux étoiles, nommées aussi sporades, qui ne se

trouvent comprises dans aucune constellation.

INSCRIT.(Géom.)Une figure est diteinserite dans un autre, quand les sommets de tous ses angles touchent le

périmètre de cette autre.

Ainsi un polygone est inscrit dans un cercle, lorsque tous les côtés de ce polygone deviennent des cordes pour le cercle.

On nomme aussi Ayperbole inscrite, Vhyperbole d’un degré supérieur, qui est entièrement renfermée dans l'angle de ses asymptotes, comme l’hyperbole apollonienne ou conique.

INTEGRAL. — Carcur inréeraz. Seconde branche du calcul général des pirrÉRENCEs. Son objet est la considération des différences inverses, nommées aussi sommes ou intégrates. Voy. DirrérENCE. 16 et 49.

Ce calcul, comme celui des Différences directes, se divise en deux parties savoir : 1°, le Calcul intégral aux différences finies, ou, comme on le nomme communément, le Calcul inverse des différences; 2°. le Calcul inicgral aux différences infiniment petites, ou le Calcul intégral proprement dit. Nous allons les examinér successivement.

1. CALCULINTÉGRAL AUX DIFFÉRENCES FINIES, Ou Caleul inverse des différences. Le but général de ce calcul est d'obtenir la génération d’une différence d’un ordre quelconque 4”r, au moyen dela différence supérieure A+ 1623 ex étant une fonction quelconque de la variable æ. Considérée ainsi par rapport à Am+19x, la quantité Apx prend le nom de somme, pour des raisons que nous verrons plus loin, et la relation de ces deux quantités s'exprime par

Ampx =2[An+1@x]

Z étant la caractéristique qui désigne la somme. ( Voy. DirFérENce. 16).

Nous avons expliqué, dans les paragraphes déjà cités de l’article Dirrérence, le sens des caractéristiques 2, 2°, etc. et nous avons vu que les expressions ox et A—"9x sont équivalentes. Nous supposerons donc dans ce qui va suivre que tout ce qui a rapport à la notation est connu.

1. Le problème de trouver la quantité gx dont on connaît la différence Apx, peut se ramener à. celui de trouver la différence de l’ordre général 72, de cette différence Apx. En effet , en désignant par f'(m), l’expres- Sion de 4m [Apx], si l’on y fait m——1 on obtient immédiatement