TOME

IN Â15 A1 (A@x]— 3[apx] —f(—1)

Mais en appliquant à la quantité 49x, la loi de génération des différences (Voy. DirrérencE. 14), on a évidemment

Am [Aox] = Apx—mAo(x—i) + DS Ap(x—92i) —

etc.....

à étant l'accroissement de x, dont dépend l’accroissement correspondant Azx de la fonction ox.

Faisant donc dans cette expression m——1+, nous obtiendrons S [agx]=—Apx 2 A(Qæ—i) + Ag(x—oi) + AG(x—3i) + etc.....

D'où nous voyons que x|Ayx] désigne une véritable somme. C’est ce qui résultait d’ailleurs d’une manière plus générale de l'expression (d) de l'intégrale zx, (Foy Dirr. 20).

La génération de la fonction #x est donc donnée ici par la somme de tous ses accroissemens.

2. L'intégration des différences polynomes peut toujours être ramenée à celle des différences monomes; car :

A [ox +ey +] = Apx + Apy + A7, or, en prenant l'intégrale des deux membres de cette égalité, on a

gx + er + vz= 2[Apx + Aer + 492)

ou, ce qui est la même chose,

ZAoz + XAoy — 349% = 2[Apx + Apy + Az] Ainsi nous ne nous occuperons que des différences monomes.

Nous devons encore remarquer que tout facteur cons-

tant de la fonction variable, peut être mis hors du signe d'intégration, ou que

3[Ayx] est la même chose que Axpx.

C’est une conséquence immédiate de ce que A[Agx] — Ac Apt.

3. Procédons d’abord à la recherche de l'intégrale de la fonction élémentaire æ”*; l'accroissement de x étant toujours désigné par ts

Nous avons (Dirr. 21.)

4 A(n— 1 Lu AL = NAN—I pen An—2j2 1.2 n(n—1)(n—2) œn=3i3 1.2.9 ec...

114 IN En intégrant de part et d’autre, il vient u NIUE (n— 1): D Sans = Ai12 Ka ral 7 AT

as xn—3

Cetteexpression ferait connaitre l'intégrale de æ" sil'on avait celles dex#—1, æ7—°, x"—3 etc. Car en y faisant

n—:=m, et en dégageant zx", on obtient (1)

Dm Ta LR PNEUS u UE NS EAU OURS (mad-i)à no m m3)

ZX. x —2

.3.4 + eté.....,..

pa 3s xm—3

Faisant successivement dans cette dernière m—0o, M—1, M—)2, etc. et substituant dans chaque valeur

celles qu’on a obtenues précédemment, on trouvera

æ ZT° = z KL T2 1 ÈT = -——-7x DE 2 LE ï I Ex = > —- 2H — x 31 2 NAT : 12: : I ; 2 = ; -— L' — Xi 4 È 2 2.0 2 SAT pl Sri Li —- xite mi xù 2 Z 2 te] .

6 F : vz £ DNS Sn — 63-22 TÈ z 2 .U .

LC —#eic

4. On peut obtenir l'expression générale de 27 sans passer par les sommes 227*—1, Ex”—2, etc., en se servant de la méthode des coefficiens indéterminés. En effet

nous pouvons poser

22m — Agmti EL Bon L Crm-1 EL Drm—2— etc.

car telle est évidemment la forme de la génération de ces intégrales. Or, en prenant la différence première de chaque membre , on trouve

A CEE) RE pes 1 A CDR

etC.....

mx I B” 22 Pmetr B —— RL etc...