BE

Le

sie

+ etc...

IN

comparant entre eux les termes affectés d’une même puissance de x, on découvrira entre les coeffciens indéterminés A, B, C,etc., les relations suivantes, qui serviront à les déduire facilement les uns des autres ,

B (mx) I AAA TCENTIE c À (1 mi mu A n DEA Grimm nË (nes) (m1 à 2.3.4 2-9 2 CiC— Etc

En effectuant le calcul de la partie numérique de ces coefficiens, on obtient (2)

Tm+1 I DPUL nee mie 2121 (mie 2 3 —1 den AMI. EU : dr —3 DS PL) 0.9 141 1 M à 3 ml 652 6: RAT ET DE 0 9. 8x HTSTEZ 5.7 : 10.0 1:

5 m9—1. 691 m1 + - 19X7—9 : —— Li — (1 6.11 rio 220.13 1711 F DT 3Grim m5 —1 35 Te 13pn—13— 36 jee —__p5ypm—15 Z ZT 2.15 1141 80 F7 T6 86171 —1 2992779m19|—1 rates 17e 7m g 11 jl9pm—19 42.19 riëlr F1O,21 1201 H'etciinis à

nous nous servons, pour abréger de la notation des factorielles (Foy. ce mot).

La différentiation d'une fonction de, quantités constantes et variables faisant disparaître les quantités constantes qui entrent dans son expression et qui ne sont point facteurs des variables, il faut, en intégrant, ajouter une constante arbitraire que Ja rature de la question donne ensuite les moyens de déterminer. On a, par exemple , À et B étant des quantités constantes,

A [AHBox] —)BAox HÉREA Ainsi, lorsqu'il s'agit d'intégrer BAox, comme toute trace de la constante À a disparu dans cette expression, dont l’intégrale est SBAgx — Bs4ox — Box il devient nécessaire, pour compléter l'intégrale, de lui ajouter une constante indéterminée; on écrit donc SBAgx — Béx + constante.

Dans un grand nombre de cas cette constante peut être zéro, mais dans d’autres elle change entièrement la valeur de l'iutégrale, et il est toujours essentiel d’en tenir

compte.

IN 6. L'intégration que mous venons de donner de la fonction élémentaire x", renferme le principe de celle de toutes les fonctions algébriques rationnelles et entières, dans lesquelles la variable indépendante reçoit uu accroissement constant. Proposons-nous, parexemple,

d'intégrer la fonction

ASHA x A 2 A ri.

nous avons

3{A,HA x +A,x+A;x| = AE t0+ A 2x!

+A,2x—HA,ExS

Ainsi mettant pour Ex°, Ex', zx”, Ex, leurs valeurs ,

nous obtiendrons

A t—3A iLGA,

EX Oz

At—0A,710A + RE Æ tt pt bu 3A3i—92À, 2 Gi

ASE GE x*

+ constante.

SASHA ,ù+A,xt+Asx] =

7. L'intégration de la factorielle xl, lorsqu'on prend l’accroissement de la différence égal à celui de la factorielle, présente moins de difficulté que l'intégra- ‘tion de la simple puissance æ». Eu effet, nous avons (Dirr. 22.)

Ami — mi(2c+i)n— vi

d'ou, en intégrant , demi = mi E{x+i)n il

égalité qui donne immédiatement

acné *

2ætimii = =,

, ( go ) mu Faisant mm —1= n, et x + i = x, cette expression devient définitivement (3)

(CAERL

et telle est l'intégrale générale de la factorielle æ1, quel que soit l’exposant » entier ou fractionnaire, positif ou négatif.

Dans le cas de l’exposant négatif, la formule (3) devient (4)

J y DE AU —

+ constante.

È dis Œul rot) nus (æ—ni)"\ (a—1)x—ni—i li à cause de

5 1 , (x— nan LL Es Te et

(loy. FacronteLte 6.) Représentant, de nouveau, dans

IN 115 cette dernière la base æ — ni par x, nous obtiendrons (5)

. à — + constante.

CEE CAT

Dans le cas où nous considèrerions les différences à «c-

croissemens negatifs, comme alors la différence de æ”1°

est simplement,

ADN = pnign— li

les formules (3) et (5) deviendront (6)

) ail S'HNfE ee const.

(n—1)à 4 1 2 f Y — — = , TR eNTE Eden ô

Nous verrons ailleurs des applications très-importantes de ces intégrations. (7’oy. SommAToIrE.)

8. Passons à lintégration des fonctions transcendantes. La différence de la fonction exponentielle ar, est (7)

AA — a*(ai—1)

Car on obtient cette différence en faisant varier x et en retranchant la fonction primitive de celle qui a recu

l'accroissement (Dirr. 7), ce qui donne Aar — at+i — ax —a® (ai — à).

Ceci posé, en intégrant les deux membres de l'égalité (7), nous avons

a —= s f'ax(ai—1) = (ai—3)3ax d’où (8) ac SAUENÉES (ai—1)

9. Les intégrales des fonctions circulaires sinx, cos, s’obtiendront par un procédé semblable au précédent. Nous avons

ACOST == COs(T +1) — cos ?

et par suite (9),

À cos &æ — — 2 sin 32. sin (x+ir.)

à cause de la relation générale(7”oy. sinus) cos À — cos B —— » sin 5 (A—B). sin (AB)

On tire de l'égalité (9),

N: < A COST sin (Xi) = — ——.

2 sine

ce qui devient, en remplaçant æ + =ipar x,

A cos (x—i)

sinx — - 2 Sin