AB

nous conduirait à l'expression (11)

sin a) Z COST =

a) const.

2 sin LE

10. La génération des intégrales du premier ordre, conduit très-facilement à celle des intégrales des ordres supérieurs, car Z’?x est la même chose que 2 Sr), z'ox que x’(%9x) ou ZE E(xpx)) etc., etc. C’est ainsi, parexemple, que pour obtenir Z{yx), on commence par preudre l'intégrale du premier ordre qui est

a? æ Ex —— — Er A +R + À désignant la constante. En intégrant cette dernière expression, on obtient

EX— — B+ x + Axx° — const.

Lx? — :

" TE 3 2 ce qui donne définitivement, en effectuant les intégrations indiquées

RD Ut à.

are

ZX? —

AT + const.

122” a+ ii

On voit que l'intégration introduit un nombre de constantes arbitraires égal à celui de l’exposant de l’ordre.

11. La génération de l’intégrale de l’ordre m d’une fonction quelconque 9, s'obtient d’une manière générale par les différentielles de cette fonction, et cette génération présente des particularités remarquables que nous devons signaler.

Si l’on développe la fonction Aox, par la formule de

Taylor (Foy. DIFFÉRENCE , 34.) on trouve

dox C4 dox à dox ra dx? 1.9 | dx 1.2.3

et, en comparant ce développement avec celui de la fonction exponentielle e> qui est

Ar = re =

dx 1

É + etc.

: dox . :

on voit, lorsque =". i, ce qui donne

dx.

dex ü (dx) 2 a

dx (dox)’ rÈ : —1— ; - Li Le g dx ‘1 T dæt 1.2 ae 259

que ce dernier développement ne diffère, dans sa forme, de celui de 49x que par les exposans des puissances de dex. Ainsi on pourra poser (12)

dex ; :

Agx =e de

pourvu que dans le développement du second membre de ceite égalité on transporte à la caractéristique d les exposansdes puissances de dyx.Conditionessentiellesans laquelle l'égalité (12) n’a aucun sens; cette égalité ne devenant effective que par le développement du second membre.

Lagrange a remarqué le premier que cette analogie entre les différences et les puissances avait également lieu pour tous les degrés, et qu’on avait en général (13)

dex ; jm AMEX — e dE 1 | en observant toujours qu’il faut développer le second membre et transporter à la caractéristique d les exposans des puissances de dpx.

Cette relation (13), ayant été démontrée pour toutes les valeurs positives et négatives de l’exposant », donue immédiatement (14)

dgx nt dE:

ATRDX = EMEX —=

On écrit encore cette relation de la manière suivante

alors les exposans des puissances appartiennent immédiatement à la caractéristique d'et par la réunion de la quantité x on forme les différentielles successives dx, dx, etc.

12. Nous avons dü nous borner à présenter ici de la manière la plus succincte les principes fondamentaux du Calcul inverse des différences ; quant à l'intégration des équations aux différences à plusieurs variables, elle entraîne des détails qui ne penvent trouver leur place dans ce dictionnaire; et nous devons renvoyer au grand Traité du calcul différentiel de Lacroix. Ë

IL. Carcuz inrÉGnaL aux différences infiniment petites. C’est particulièrement à cette branche du Calcul des différences inverses qu’on a donné exclusivement le nom de cALCUL INTEGRAL. Jusqu'ici les auteurs d’ouvrages élémentaires ont présenté le calcul des différences finies comme entièrement distinct du calcul dif. férentiel , tout en reconnaissant cependant queces calculs ont de grands points de ressemblance. Cette distinction qu’on a voulu établir entre les deux branches d’un seul

et même calcul , (brauches qui ne diffèrent entre elles que par la nature des accroïssemenrs qu’on y considère) n’a aucun fondement; et si l’on remonte au principe mêmede l'existence des DiFFÉRENCES des fonctions, c’està-dire à la génération de ces différences, dont la conception primitive est donnée pour les expressions

Différences réelles, Apx= 9 (x4+Ax)—9x Différences idéales. dpx:=dy{x+dx)-9x

on reconnaît sans peine que les différences idéales ou infiniment peiiles ne sauraient avoir d’autres lois générales que celles des différences réelles ou finies. Nous avons en effet reconnu (DIFFÉRENCES), que les premières de ces lois ne sont que des cas particuliers des secondes, ceux où la différence Az, devient dx, c’est-à-dire de réelle, devient idéale, et si alors les expressions se simplifient beaucoup par leretranchement des termes qui deviennent nuls, c’est uniquement en vertu de cette loi fondamentale des quantités infinitésimales, par laquelle l'égalité de deux quantités quelconques À et B, prises dans une mème sphère de grandeur, ne peut être altérée par l’influence d'une autre quantité C, infiniment petite, comparativement avec les grandeurs de l’ordre A etB.II en est évidemment de même des différences inverses où intégrales et l’on peut toujours passer de l'intégrale 397

à l'intégrale h 9x, en faisant l’accroissement 2 de la va-

riable x ; infiniment petit, et en faisant disparaître de son expression les termes affectés des puissances ?, etc, qui sont autant de quantités infinitésimalesnulles devant zou dx. Par exemple , si dans l'intégrale donnée n° 4, pour la puissance x” on fait dx cette intégrale se ré-

duit à J=

Ce que l’on peut mettre sous la forme

ME — T1 ” (mHi)dx

parce que dx est considérée comme une quantité constante.

Cependant il est toujours beaucoup plus court de chercher directement la différentielle dx, que de l’obtenir de la différence 4gx, en y faisant i — dx, et telle est l'immense avantage des différences infiniment petites que la génération d’une quantité quelconque peut être obtenue par leur moyen de la manière la plus simple possible. Nous allons donc procéder à la déduction directe des intégrales ou à la génération des fonctions primitives dont les différentielles sont données.

13. Soit d’abord proposée la différentielle x" dx; puisque nousavons (Dirr. 43 )

5). del nei-idx

nous obtiendrons, en intégrant les deux membres

[axy= ner

ou , les deux signes Ja dse détruisant ,

= fnadr=n f'arride,

Nous avons déjà dit que les facteurs constans peuvent se

mettre en dehors des caractéristiques.

Cette dernière égalité nous donne, en faisant 2—1—m

f'avaz = Eva (m1)

Ainsi la règle générale pourobtenir l'intégrale-dex,,dx est celle-ci : augmenter l'exposant d'une unité et diviser ensuite par le nouvel exposant et pardx. Oa peut remarquer que cette expression est celle que nous ayons

obtenue ci-dessus en passant de Sr à flan.

Pour obtenir l’intégrale complète, il est nécessaire d'ajouter au second. membre de l'égalité précédente une quantité constante €, qui reste entièrement arbitraire, tant qu'aucune circonstance ne vient déterminer la valeur que doit avoir l'intégrale pour une valeur particulière de la variable z. En effet , quelle que soit la quantité constante €, on a

d'C+H x] = dar = nœr—-1dx

et comme toute trace de € a disparu dans la fonction différentielle nx"—1 dx, on voit que cette différentielle est la même pour toutes les fonctions de la forme M—zxr, M étant une quantité constante quelconque; ainsi et réciproquant, l'intégrale de nx"—1dx, c'est-à-dire M+zx, peut avoir une infinité de valeurs, correspondantes à toutes les valeurs qu'on peut donner arbitrairement à M. Nous avons donc généralement pour l'intégrale de xmdæx , expression

: am+i ao... fx dx.

Si, d’après la nature de Ja question qui conduit à la

différentielle x"dx , son intégrale devait s'anéantir , ou devenir zéro , lorsque la variable æ reçoit une valeur particulière b , cette circonstance exprimée dans (16)

donnerait bm+ Le pe ON m1 D'où l’on obtiendrait but:

Éd mx

Alors la constante ne serait plus arbitraire, et l’intégrale complète serait , (17),

D ’ LM HI bm+1 LIT = ——— se m1

C’est par un procédé entièrement semblable que l’on peut déterminer la valeur de la constante dans toutes les intégrations où les intégrales doivent recevoir des valeurs particulières pour certaines valeurs de la variable.

14. L'expression (15) avant lieu pour toutesles valeurs de l’exposant, il en sera de même de l'expression (16). Dans le cas de l’exposant négatif, on a donc aussi

am dx = —-—— C JE fil —m+1 +

Ce qui est la même chose que

dx I CO et

Pour les valeurs fractionnaires positives et négatives de l’exposant , on aurait de même

mi mx (19)... 4 gx = + C

dx m (20)... — —— —— / n n—m L Vus (m—n)x Le

L'application de ces formules ne présente aucune dif-

ficulté. Par exemple, si l’on veut intégrer la quantité

ax °dzx; en faisant dans (19), # — 4 ,m = 5, on obtient

immédiatement 4 LE Le 9 £ LE AE 2 5 af-xidr =a.-— = .ax:# GC e 9

La formule (20) ferait également trouver

= Va e xs

ZiÿE +C

15. La formule générale (16) dont (18), (19)et(20) ne sont que des déductions, présente un cas particulier

NV — 3V/ax 3 1x à

remarquable que nous devons examiner ; c’est celui où

m—= — 1, caralors elle donne dx 1 à =- ét C æ —0

10: CITE ‘ ; = étant une quantité infiniment grande, ce résultat ne

nous apprend rien, à cause de l’indétermination complète de la quantité C. Ainsi en admettant qu'il existe

une fonction Ÿx de x telle que sa différentielle soit

dx ; ZX? °u telle que l’on ait

fi aies ZT

la formule générale (16) paraît insuffisante pour en donner la génération. Il n’en est rien cependant, car si cette fonction x existe, elle doit avoir une valeur quelconque b, correspondante à x=0 , b pouvant être d’ailleurs lui-même égal à zéro ; et comme par cette considération l’intégrale complète, pour toutes les valeurs de l’exposant 72, est(17)

am+i— Jpmi+x Jerez nn mi

cette intégrale , dans le cas de m3 ——1, devient

dx x—b "0

Œ otnAHT ©

c’est-a-dire, une quantité indéterminée dont on peut trouver la valeur par le procédé donné au mot Difference, n° 47. En effet, considérant »#: comme la variable, dans l’expression générale, et différentiant les deux termes de la fraction, on obtient, en désignant par la caractérisque L, le logarithme naturel de la quantité qui en est affectée ,

d[xr+i — bm+i]

ami, La.dm— bm+1.Lb.dm dm]

dri = 843, Lx — bm—1,Lb

ce qui devient dans le cas de » ——1

Lr—Lb

Nous avons donc aussi

Lé demeurant indéterminé. Cette difficulté qui se présente dans l’application de la formule genérale (16) tient à la nature transcendante de Ja fonction Lx, -

En partant de la différentielle

PE ue ds

( Voy. nirr. 31.) on aurait reconnu immédiatement

que, (21), Ye be

16. L'intégration dela fonction simple æ”«r, donne les moyens d'obtenir non seulement celle de toutes les

fonctions différentielles rationnelles et entières d’une seule variable x, mais encore celle d’un grand nombre de fonctions différentielles irrationnelles. C’est ce que nous allons faire voir.

Toute fonction différentielle rationnelle et entière d’uve même variable peut se ramener à la forme

[Aæz + Bx2 + Ca? + Dx? + etc.. .\d2

or, en vertu de

Ja+Y+a+as fX+ PRE etc.

on a

VE [A+ Br Crt+Drdtetc..]d= A 7? exde

+ B æedx + C / xtdx +D L AN + etc.

expression qui, en intégrant chaque terme en particulier, devient #+1 +:

Ax* L Br£-etc….]de =AT J'tArt + Brs ete... lde AT + BTE

+ etc.....+ const

Il n’y a besoin d’ajouter ici qu’une seule constante arbitraire, car on voitaisément que si l’on en ajoutait une pour chaque morome leur somme serait encore représentée par une seule quantité arbitraire.