Les fonctions de la forme (AL Br + Cr + Dax + etc..." dr
pourront encore être intégrées de la même manière,
puisqu’en développant la puissance om obtient une suite de termes dont la forme générale est
Mzxrd
et, cette intégration peut avoir lieu d’aprèsles formules (6), (18), (19) et (20), pour toutes les valeurs entières et autres de l’exposant »7. Lorsque cet exposant est entier et positif l’intégrale se compose d’un nombre fini, de termes ; dans tous les autres cas, elle est représentée par une série indéfinie.
18. Il existe quelques fonctions de la forme ci-dessus dont on peut, à l’aide de certaines transformations, obtenir l'intégrale, sans avoir besoin de développer la puissance. Nous allons les examiner.
L'intégration de la fonction binone (a+bzx)"dx, est
et, par conséquent
d’abord dans ce cas, quel que soit même l’exposant ; car faisons a+-bx —x ce qui donne z— a
x—=—— , et dx=
substituant ces valeurs dans la fonction donnée, nous obtiendrons
(aba)mdr = TE
J'atieraee f°
zm+ 1
RE I )b
mettant pour z sa valeur, nous obtiendrons aéfiniti-
vement Je (a+-bx)rdx =
19. La même transformation peut encore être employée pour la fonction plus composée ;
(a+bx) \m+i .
| (mErnb PERS
(a+ban)nan—idx en effet, faisant a+-bx"— =, on trouve di=d(a+bxr)=bd(x")=nbxr—tdx
et par suite.
zmdz on jt eme X — (a+-bar)ran—1 dx = =5 Mais VE da chat zm+1 nb =? 7 (m+i)nb Donc b 1 2m MN — 1 J'atiar) are __ (a+bzær) }a+x ROUES Comme en géuéral der" — myx"—1. dyx, toutes les
foisque la quantité qui multiplie la puissance 9x"—1 sera la différentielle de la base 9x on pourra obtenir l’intégrale, par des considérations semblables aux précédentes, soit par exemple la fonction différentielle
(a+bx+cx}".(bHocx)dx
il est facile de reconnaître que (b+2cx)dr, ou que bdx+oacxdx, est la différentielle de a4-bx+4-ca?, car en faisant
=a+bx+cx
on a
dz—bdi+icxdi
Cette fonction est douc la même chose que z"dz, et
par conséquent son intégrale est
/ ao} (ea) PEER +C
20, Lorsquelestransformations précédentes nepeuvent avoir lieu, il faut , comme nous l'avons déjà dit ,développer la puissance etintégrer la série résultante terme par terme. Soit, par exemple, (a—bx*)‘dx la fonction proposée; on obtient en développant
(abs id =ai.dx—hañbxt.dx+6ab?a°.dx
—/ab3x.dx+bix".dx
Ainsi, intégrant chaque terme en particulier , on trou-
vera
J'a-tx)dr= aix abri +$abxt fi # abx'o+ bia +C
=, on aurait aussi
dx Vi —a2
JS ne fTaersrditet. ]
Si la fonction proposée était
d’où S 23, A,1.3.%5.4 1585-27 —— +=. LE e t V/1— ax Dear States TEST
21. Les fonctions circulaires sinus et cosinus peuvent dans plusieurs cas dispenser de l'intégration par série, et fournissent alors des intégrales très-simples et trèsutiles. Rappelons-nous (rirr. 33 ) que
d' sin 3 = cos z.dz
dcosz = —sin z.dz D'après la nature de ces fonctions on a ( Foy. Sinus)
cos’z + sin?z—1 d’où l’on tire
COSz — V/1—sinz Substituant cette valeur dans celle de dsinz, il vient dsinz = dz.\/1—sin?z
Faisons maintenant sinz — x, et nous obtiendrons
l'expression pdt dont l'intégration donne à dr vi= Rest
IN
Mais z est, ici, l'arc dont le sinus est égal à æ , ainsi où a,(22),
JE
