L'intégration par série appliquée à la fonction

dx En nous donne encore une génération du logarithme

naturel de a4+x, que nous devons exposer. Il faut remarquer d’abord que, (27), :

Tong 11,

IN

en effet, représentons a + x par z, nous aurons

ax = 3, et d{a4x) = ds, où dx = «ds

UE dz ainsi ——-

a+-x GE

, et comme d’après la formule (21),

SE=vw+c

si l’ou substitue à la place de = sa valeur, on trouve l'expression (27).

Ceci posé, puisque Æ — (abx)-1dx, on a

(a+x)-1dx — = dx —= dx + Ede—ete.

dont l'intégrale est

dx x 3% Fe di Je re LE" UE D + C

nous avons donc aussi

"ns etc...—+ C

Pour déterminer la constante nous remarquerons que lorsque x—o, cette équation devient La —0+-C. Substituant cette valeur de C, il vient

L(a4x) =La+”

développement que nous avons trouvé ailleurs, pour le cas de a —1, d’une manière bien différente ( Way. nir- FÉRENCE 37.)

25. Passons aux fonctions différentielles fractiornaires plus composées que les précédentes , etconsidérons d’abord la fonction

Aardx a-+oxy Si nous faisons a--bx=—7, nous trouverons

a tx = = —, td =

substituant , la fonction proposée deviendra

,imultipliant le

ainsi, développant la puissance (5—a)"

résultat par d= et divisant eusuite chaque terme par

bm+izn, on aura une suite de monomes à intégrer, et après l'intégration on remplacera z par sa valeura+bx. L'exemple suivant va éclaircir ce procédé: soit la fonction proposée

Axrdx

(aLbzx) ici , l’on a m—2, n—1, et la fonction en z devient

A(z—a)dz

Nousavons donc, en développant la puissance,

A(z—a}dz Azdz 2Andz

b°z OR b

Aadz b23

Intégrant d’après les règles (16) et (21) les monomes

A 2A« Aa? dz TRS Sa LE nous obtiendrons A(z—aÿds Az? 9Aaz A&@ ‘. Bz oh aa & -Ls + C

Remettant pour = sa valeur, nous aurons définitivement

Axdz A Ér-= Ë (aLbx} — 2a(a+bzx) + æL(at-bs) | + C

26, Toutes les fonctions de la forme

Axmdx LBardx + Cxrdx + ete...

ar}

pouvant se décomposer comme il suit

Az (lx Bcdx Crrdz (a+bzx )# + (abz }r 4 (air + etc.

leur intégration s'effectuera en opérant sur chaque terme en particulier, comme nous venons de le faire ci-dessus.

27. Si nous désignons par U et V des fonctions rationnelles et entières dont la forme générale est

Aa + Bx£ + Cx7 L Dr LH etc...

la forme Udz =

IN

représentera toutes les fonctions différentielles rationnelles et fractionuaires.

Nous devons d’abord remarquer que le plus grand exposant de x dans U peut toujours être supposé plus peut, au moins d’une unité, que le plus grand exposant de x dans V; car dans le cas contraire une simple division pourra changer l'expression al en R + LE R

désignant le quotient et V' Le reste de cette division; on aurait donc alors

Mais R étant une fonction entière et rationnelle , son intégration peut s'effectuer par les principes exposés ci-

dans laquelle le plus grand exposant de x est moindre

dessus ; il ne reste donc qu’à trouver l'intégrale de

dans U' que dans V.

Pour intégrer les différentielles de cette forme, il faut

décomposer ya Jractions partielles « en se servant

d’un procédé que nous allons indiquer et qui est fondé sur la méthode des coefficiens indéterminés. Proposonsnous pour exemple la fonction

(a +bax)dx

dix —x

Il faut d'abord décomposer le dénominateur en ses facteurs du premier degré, ce qui ne présente ici aucune difficulté, puisqu'on a

ax = a(a—x) = à(e—x\a+x)

Cette décomposition, fondement de toute l’opération, met la fraction sous la forme

aber a(a—x)(a+x)

et , représentant par A, B, C, des quantités indéterminées, nous pouvons poser (28)

a +br + Br, CG æ(a—x)\a+x) x Tax ‘ a+x

Réduisant les fractions du second membre au même dénominateur , il vient pour leur somme,

Aa—Azx°+Bax+Bzr+Cax—Cr?

LES x{a—x)(a4x)

quantité dont le dénominateur doit être identique avec

IN

celui de la proposée. Égalant donc entre eux les coefficiens des mêmes puissances de x, on aura B—A—C—b, Ba+Ca=o, Aa =a.

La dernière équation donne Aa, et cette valeur substituée dans les deux premières nous fait trouver ensuite

mettant les valeurs de A, de B et deC dans légalité (28),

on trouve (a°+-bx’)dx =, CRE (a+b)dx aax—x’ (a—x) 2(a+x) donc, en intégrant Êee . = alx — fe ie) p —x) us an La+a) + C

= abx—{(a+b)LV/a—2x? + C

27. L'intégration des fonctions différentielles rationnelles et fractionnaires repose donc sur la décomposition des fonctions fractionvaires en fractions partielles, décomposition quirepose elle-même sur celle du dénominateur de la fraction en ses facteurs du premier degré. Lorsque cette dernière décomposition peut s'effectuer lintégration n’a aucune difficulté et l’on peut toujours opérer comme nous venons de le faire; dans le cas cependant où tous les facteurs du premier degré sont inégaux ; car si le contraire avait lieu, cette méthode ne pourrait plus servir, ou du moins il faudrait lui faire subir des modifications. Sans entrer dans des détails de démonstration quinous mèneraient trop loin ,nous allons résumer le procédé qu’il faut alors employer.

—, étant la fraction rationnelle , supposons que les

facteurs premiers de V soient (x—a), etc., ou que l’on ait

2 Lee VV (æ—a(x—b{a—c\x—d).. etc.

si parmi ces facteurs, il s’en trouve d’une part »2 égaux entre eux, de l’autre, et que lesautres soient inégaux; si, par exemple, on a

2 s U TT (a—ayr (a —b}r.(& (a—c\x—d).. \.. etc

IN on formera les fractions partielles AHBx+Cx? Voie Mari (x—a)r A'+HB'x+C'a...+M'ar-ti (œ—b} B" (a

xz—d ze

ES ho O1

us