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dans lesquelles A, B, C, etc, A’, B', C'etc, A”, B”, C”, etc. seront des coefficiens indéterminés, dont on trouvera la valeur en réduisant toutes ces fractions au

même dénominateur et en prenant leur somme qui doit

être identique avec En égalant les coefficiens des

Le) v' mêmes puissances de x , dans le numérateur de cette somme et dans U, on formera les équations de conditionsnécessaires pour la détermination des quantités À, B,C, etc.

On peut encore, ce qui est plus simple, substituer aux fractions dont les numérateurs sont composés , une suite de fractions simples et dont les dénoininateurs procèdent par puissances décroissantes depuis l’exposant 7e ou À jusqu’à 1 ; c’est-à-dire qu'on peut remplacer les deux premières fractions ci-dessus par les deux suites de

fractions A B ALU ue RDNT mt (x—a)r—1 En ms usqu gene A' B' C' : ,,, M

a — = ! ’! Pa (æ—b)}" + (bi T Gp êtes Nes A

Eclaircissons ce procédé par un exemple. Soit à intégrer la fonction __æ’dx ax — a ax+a?

pour trouver les facteurs premiers du dénominateur, remarquons en général que si ces facteurs sont (x—a),

(x—8), (x—d), puisqu'on doit avoir DD — ax? — DR + = (x—a\x—fP)(x—0)

les quantités «, £, d ne sont autre chose que les racines

de l'équation

L—ax mx + ai = 0

€ ( Poy. Equariow, 15). Ainsi pour trouver les facteurs

premiers de V, dans la forme générale = il faut faire

V—o et chercher les racines de cette équation. Dans le cas qui nous occupe il est facile de recannaîitre qu'une des racines est a, car en faisantæ=a@ , le premier mem-

bre se réduit à zéro, æ—a sera donc un des facteurs du

124 IN IN premier degré de 2—ax—cæx+ta; ainsi divisant de Lacroix. Occupons-nous de l'intégration des fonc-

cette quantité par x—a, le quotient æ*—æ?, qui est tions irrationnelles.

immédiatement décomposable en (x—a)(x+a), fera Le procédé fondamental de cette intégratiou consiste

connaitre les deux autres. Nous ayons donc à transformer les fonctions irrationnelles en d’autres qui

soient rationnelles , ou du moins en une suite de mo-

RÉ T° nomes irrationnels, car ces derniers peuvent toujours garde (x—a)(x+a) être intégrés à l’aide des formules (19) et (20)

Soit, pour exemple, Ainsi nous supposerons (a) (aV/x — by cxÿjdx 4 ERA se B C (x—aÿ(x+a) (x—a) (aa) T (x+a) En mettant cette fonction sous la forme

Réduisant le second membre au même dénominateur, 2 HS axdx — bc“ .x'dx

nous obtiendrons pour la somme des fractions partielles Chaque terme peut être immédiatement intégré et

A(x+a) + B(x—al(x+a) + Cx—a) comme d’après la formule (19) on a

(x—a)(x+a) 5 3 + : 4 “ x dx pe sh x Ge

Aa—Baï+Ga+(A—2Ca)x +(B+c) ET l'intégrale cherchée sera donc (z—a)(x+a)

ou , en développant,

a\/x + eo

Comparant le numérateur avec celui de la proposée et J (ay x—b\/cx*)dz = égalant entre eux les coefficiens des mêmes puissances

a. Vi +: loyer +c

de x , on obtient ces équations de conditions

Aa — Ba’ + Ce — 0 29. S'il s'agissait d’une fonction fractionnaire

A—9Ca = 0 B+C—: 3 ais—bis d’où l’on tire HE F5 À Ti crr I 3 I —— B mu (@ — ec CE:

on réduirait les exposans fractionnaires à leur plus pe-

Soalité £ i inomi ayant trouvé que ce au moyen de ces valeurs l'égalité (a) devient tit commun dénominateur, 8 ve 4 dénominateur est 12, on ferait

æ’dx adx us ra dx (x—a) (x+a) ax) 5 4(x+a) x— 7", d'où dr —122"%4z Intégrant chaque terme en particulier par les métho- €t des précédentes , nous trouverons Le Er 1 F E T2), D 2 NL 0) ZAR a S) ; : (&— a} (x+#a) — 2{x—a) LR 4: L(x—a) substituant ces valeurs dans la fonction proposée, elle deviendrait + - Lix+a) + C L azi—bz6 1922192 } y93u RL, Le re cn S D ET

28. Nos limites ne nous permettant pas d’entrer dans de plus grands détails sur la décomposition des fonc- ou, définitivement, en retranchant le facteur comtions fractionnaires en fractions partielles. Cette théorie mun %}, extrêmement importante pour le calcul intégral, doit être étudiée dans l'ouvrage d'Euler, l’/rtroduction à 12421 — LEL ENS l'analyse des infiniment petits, ou dans le grand traité 1+-cr

IN Pour intégrer cette dernière, on remarquera d’abord qu’on peut diviser le numérateur par le dénominateur; opérant la division, il vient

12b nl

19a21—19bz4 di = --2%dz ire 21 dz

1+cz nach, 12(a0—b),, Dr = er tuer Louis 12(ac—b) 7 ete — C2 19(ac2—"b) 12(ac— b) 5 T c? des ct fi ro(ac—b) ; us PC zidz ose | c'° 12(ac°—b) , 12(ac?—b) z’dz M remar e cor 12(ac%—b) 1a(ai—b) + A ere die cri — 12(ac°—b) dz 2e Fr pr (1+c)

Intégrant chaque terme en particulier, et remarquant

que d’après (27)

nous obtiendrons, après avoir remis à la place de z sa

valeur /x :

a\/x— Paz, 120%. 19h 4 5 Fi 14c” 13c2 Vr+cv/x HORTE CE = PR 11CÂ 1° 2 LE Dre Si x0c° 96 CIE 7 1 2 æe 12 air 87 nc?

6 5 di 2 4 2 Hbc Bee 4 3 ET 2 AE 2 Fer 3 2 Li æ'i2 VAE Pacs er

+ heL(iteyaù} #0

On opérera de la même manière dans tous les cas semblables.