EN

30. Toutesles fois qu'ilest impossible de ramener une fonction irrationnelle à une forme rationnelle par des transformations convenables, il faut la développer en série, ce qui produit toujours une suite indéfinie de monomes intégrablés par les moyens exposés jusqu'ici. Mais comme il est beaucoup plus avantageux d’obtenir l'intégrale sous une forme finie, on ne doit avoir recours à ce dernier procédé que lorsqu'il est bien constaté qu’aucune transformation ne peut réussir. Nous allons considérer encore quelques formes particulières des différentielles irrationnelles auxquelles certaines méthodes detranformations, dont nousn’avons point encore parlé, peuvent être applicables. dx étant une fonction rationelle de +, soit, par exemple, la différentielle

px.Îx

Vatbx ter

Pour rendre cette fonction rationnelle, posons

Va+br cz 2 — xV/c+7

En élevant au carré les deux membres de cette égalité, nous obtiendrons

a+-bxbor = cx+oxz\/c+z

d’où nn | PS 22V/c—b" pas MAN) LE (22V/c—b) et, par suite, Va bx+cz? = zVc+a/c—bz

substituant ces valeurs dans la fonction proposée, ét désignant par Ÿz , la fonction en z qui résulte de 4x, lorsqu'on donne à x la valeur ci-dessus , nous aurons (28)

qui est une fonction rationnelle.

Dans le cas de px—1, on a simplement pour l’intégrale de la transformée

—2dz

J'ave = ÿr

d’où, remettant les valeurs, (29)

L(2zV/c—b)

à dx

Vatharae

= — Se L aVd{aLbx+er) — xV/t] —b + C

126 IN Pour donner au moins une application de la formule générale , proposons-nous la fonction æ°dx Vitaehes

ici, nousavons, TX =X*, &a—=I1, b=2: C—=#4

par conséquent 1—2°

Ta(2t—1)

fon

ei) ] GE) La transformée (28) en z, sera donc

… 42° —2i —8z +22? — 2(42%— 4247) dx,

ce qui donne, en effectuant la division,

z+ À Dre le

quantité dont l'intégration ne présente aucune diff-

culté. On trouve pour l'intégrale totale, en opérant terme par terme, l’expression

s’intégre par la méthode (n°27) des fractions rationnelles. Ainsi substituant pour z sa valeur

ot e

nous aurons, dans un nombre fini de termes, l'intégrale de la fonction irrationnelle.

Vihepir