Ces expressions, comme celles des numéros précé

‘atdx val — j

dens,conduisent à des développemens dont nous devons nous contenter designalerles particularitésles plus importantes. Lorsque rest un nombreentier positif, (43) donne toujours dans un nombre fini de termes l’intégrale de la fonction exponentielle , sans la faire dépendre d’aucune autre intégrale ; mais lorsque x est un nombre entier et négatif, ce qui conduit à l’expression (44), l'intégrale générale dépend de l'intégrale particulière (45)

Le Z

dont la valeur, comme celle de l'intégrale du n° 39, (46)

xd Vire ne peut être obtenue qu'a l’aide des séries.

43. Pour obtenir la génération de ces deux intégrales particulières, remplaçous dans la fonction aïx"dx, a* par son développement (voy. LocariTames),

Lay «2 1.2.3

ami Es a).x = + Lo: +. x? -+ ( + etc.

nous trouverons, Cn intégrant ensuite chaque terme en particulier,

ns) Rke Mat CORE

Certe série qui donne, pour toutes les valeurs posiuives de à l'intégrale dela fonction exponentielle générale, doit

recevoir une modification dans le cas de » négative, il

xt faut y remplacer le terme —

—n+nr

est alors obteuu par l'intégration de

, par Lx. Car ceterme

dx LRTUTE

ri dx == Lx L x

En ayant égard à cette particularité, on obtient, en

qui donne

faisant 7=——1,

fre Vespe ——

44. Ledéveloppement de l'intégrale (45), nous conduit à celui de l'intégrale (46), eu ramenant cette der-

3 at etc. + C

nière à la forme plus simple fe, ce que l’on fait en

posant z”+1=—z, car on a alors

RATE dz Lz AT =——- = —— m1 m+i1 et, par conséquent, SE dz Lr' Ar

Supposons maintenant z=a*", il en résulte (voy. Lo-

GARITHME)

L(az:') NU: La,

d'où , Lz Heniae r'=p, set Ex — Er LLz—LLa op a donc az dx" Je dz : x J I:

et, en substituant toutes ces valeurs dans le développement précédent, on obtient

dz I per

es ELLE Er

RUE + +etc.+C LLa se trouve compris dans la constante C.