COS

= séc mx + C

dx.cos mx ARTS = "— — —cosécnx + C (sin mx)* m

msin mx

Ces six intégrales donnent les moyens d'obtenir celles de toutes les fonctions rationnelles et entières desinus et de cosinus.

47. Proposons - nous, par (cos x)"dx. Nous avons (Voy. Sinus.)

exemple, d'intégrer

1 1 (cos arr cos mx C0 (m—2)x

cos (n—4)x+etc.

Ainsi, remplaçant (cos x)" par son développement, nous aurons une suite de termes de la forme

Adzx. cos(m—p)xr

dont l'intégration s'effectuera par la première des formules précédentes.

Si m—4, on trouve

(cosx)i—

lcosiz + 4cos 2x + 6coso + 4 cos (—2)x + cos(—#)x |

ou, à cause de cos o==1, et decos (—ux)=cosux

(os = | 2 cos4x + 2.4 cos 2x 6 | et, par suite,

Ja dx(cosx) =f [s cos4x. da: cos2xr. dx + = aux]

ea De 3 = = si0 4x + sin2x+ æ+C gain fe-F sine id S'il s'agissait d'intégrer (sinx)* dx, on procéderait d'une manière aualogue, en développant (sinx)” par la formule connue (Foy. Sinus.) 48. Examinons le cas le plus général, savoir : (sin x}m. (cos x)" dx; m pouvant être paire ou impaire, désignons-la par 2m dans le premier cas, et par 2-1 dans le second, la fonction à intégrer sera alors

(sinx)2m(cos x}dx , ou (sinx)?"+1,(cosx)"dx.

Or, (sinx)"=— (sin*z)" = (1 — cos’x)", ainsi (siox)2m(cos x)" dæ= (1 — cos x)" (cosx)" dx —=(cosr)"dx — m(cosx)"+2dx

tie Ë Décoste}" +4dx

—etC,,.:

134 IN expression dont on intégrera le second membre terme par terme , par le procédé précédent.

On a aussi

(sinx}im+1.(cosx)dr. = sinx.(sinx)?"(cosx) dx =(1--cos x)". (cosx}".sinxdx = — (1—cosr)7.(cosx)r.dcosæ

Faisant donc cosx=—7, on changera le second membre de cette expression en

— (1 —2:)n.28 de,

qu’on intégrera terme par terme, après avoir développé la puissance.

On peut aussi appliquer immédiatement l'intégration par parties à ces sortes d'expressions. |

49, Toutes les intégrales prises en laissant la quantité variable æ entièrement indéterminée , se nomment intégrales indéfinies , elles doivent , ainsi que nous l’avons dit, renfermer une constante arbitraire pour être complètes, mais lorsqu'on détermine la variable ou que du moins on lui assigne des limites, l'intégrale prend alors le nom d'intégrale définie. Par exemple; si l'intégrale complète de la fonction 9x.dx est

ferais +cC

fx désignant la fonction variable résultante de l’intégragration, et que cette intégrale doivent s’évanouir pour la valeur x—a ; la constante arbitraire se trouve dé-

terminée par l'équation

o = fa+C, d'où C = — fa

et l'intégrale devient

fre dx fr ja

Il est évident que sous cette forme, l'intégrale n'est plus que la différence entre la valeur de la fonction fx lorsque x—a, et celle qui résulte, pour cette fonction, de toute autre valeur de x ; pour x==b , on a alors

EL L — fa

Or, si l’on s'arrête à cette valeur b de >, on dit que l'intégrale sf ax.dx doit être prise depuis x=a, jus-

qu'à x—b, où que l’intégrale commence lorsque x—a, et finit lorsque x—b. Ces deux valeurs de x, a et b se nomment, dans ce cas, les Zmites de l'intégrale.

La valeur de l'intégrale définie se trouve doncen calculant successivement ce que devint la fonction variable

fr, de l'intégrale indéfinie fx+-C, peur les valeurs li-

mites x—a, x—b, ét en rétranchant ensuite le premier résultat du second. On n’a plus besoin d’ajouter de constante arbitraire puisqu'elle est éliminée par la soustraction.

Pour indiquer une intégrale définie prise entre les limites a et b, on se sert généralement aujourd’hui de la notation de Fourier, qui est

b oh @x.dx

Euler a employé celle-ci, dans ces ouvrages,

f'exdz [° - À

qui est moins simple, Il résulte de cette notation que si 4, b, c sont trois valeurs différentes de x telles que cb, ba, on a

J''ex.dr = foxdx+ fl ezar

car cette égalité est la même chose que

Je—fa=fb—fa+ fe —fb = fc — fa