L'expression générale de l'intégrale définie

b sx px.dx

se tire facilement du théorème de Taylor ( Foy. nirr. 34) car, en désignant toujours par fx la fonction varia- « ble de l'intégrale indéfinie :

A | J'axdr = fe + C

on a, en vertu de ce théorème, lorsqu'on augmente x d’une quantité 7,

dfz m., dfz nm

ft) 2e fie SEP CIE € d'où (a)

Farm) fe = EM CREME + etc Mais

gx.dx = dfz et par suite =, dyx dfr dex dfr 21 EE dr? dx* 7 du”

Ainsi substituant ces valeurs dans (a) et faisant x—« et m—b—a on obtiendra (47)

= x (b— + dox( b—a)

Re 2

Fe te.

IN

le point placé sur + indiquant la valeur 4 qu'il faut donner à cette variable après les différentiations.

On trouverait une autre expression de la même intégrale en partant de fx fx m) et en faisant ensuite æ==b, et m—=b— a. Elle est (48)

4 ( JS gr dxr=pX

Le point placé sur # indique ici qu’il faut faire æ—b, après les différentiations.

5r. Les séries (47) et (48) sont en général d'autant plus

dex(b—a) CAP EL

d'où (b—a) dx?‘ 1 a

convergentes que la différence b—a est plus petite; lors-

que cette différence est trop considérable of peat la par-

tager en ut nombre quelconque de parties susceptibles de foriner des différences suffisamment'petites, et énsuité on calcule ä part la valeur de l'intégrale relative à chacune de ces différences; mais tous ces détails sortent de notre plan, et nous devæns terminer ici ce qui concerne l'intégration du premier ordre, en faisant connaitre la formule remarquable de Jean Bernouilli ,au moyen de laquelle l'intégrale d'une fonction différentielle quelconque #x.dx est donnée par les différentielles successives de la fonction »x.

La fonction diffirentielle x.dx étant décomposée en ses deux facteurs gx et dx, 8i l’on intègre le second, on a, par le procédé de l'intégration par parties,

[exdx— ox. - ['xdez

et, par suite, en vertu du même procédé,

4 dox >, dox . a J > dre [ ads ia es f à

Ÿ dex

dx

DURE ‘der . I ,dex 1 dx J dx: = a de fe Fr:

d'or D’ 1 dog 1 ; diex DA RE AP Se, EN CEA LE Es J'= CEE ET ds sr ar n MES

dipæ ? 4 Sp:

NÉS LR T di =; pds up Ds = etc: = etc. ...

Substituant successivement chacune de ces valeurs dans la précédente, on obtiendra (49)

æ déx æ |dex x ezdr=ex. Te FA ei:

Pour que l'intégrale soit complète, il faut ajouter une constante à ce développement.

52. Une fonction quelconque différentielle de l’ordre m, est représentée par

ga. dxr

Ainsi en désignant par /x , l'intégrale de cette fonction, ou a l’équation

dmfx — çx.dx"

et, pour obtenir la valeur de fx ; il faut effectuer 72 intégrations successives sur la fonction @gx.dx", car on a

dm—1 fr — [exam ages f f'etdxm dm—3fx = #4 ne N: ex.

etc. — etc.

évidemment

d’où l’on voit qu’à chaqne intégration on diminue d’une unité l'ordre de la différentielle de fx, et qu'après »: on obtient

Jx = [îexdrr

Si, par exemple, la fonction proposée était xx,

opérations,

une première intégration donnerait

fade dx fade sde nd À dx? .C

parce qu’on considère dx, comme une quantité constante ; C étant d’ailleurs la constante arbitraire. Inté-

grant une seconde fois on trouverait

am+ tx xri+2 ax [| mn + Gax »|= een Xmn+2)

+ dx.Cx + dx.C,

ét, enfin, intégrant une troisième fois, on obtiendrait

xm+2dx

J en Xn+2) Ke am+3 7 (mHim+o\m+3)

-+Cxradx +C'dxr | —

+, Ca4-C'a-C

C', C’ étant les constantes arbitraires introduites par les deux. dernières intégrations, On a donc, en dernier lieu

fre

53, On ramène les intégrales des ordres supérieurs à

axm+3

! ’ nu PS ee re LE EL

celles du premier ordre, par le procédé si fécond de

l'intégration par parties, en opérant commeil suit, Soit

[sx.dx — 0

on aura

436 IN RE ETT mais ed =fes— fade, — feeds frsxdx.

ainsi

J'exde =2 f'exdr — ['a.exd.

A l’aide de cette valeur, on peut trouver ensuite celles de tous les autres ordres d’intégrales, car la substituant dans

feras up dz f "exdr.

il vient

J'edee [ad ['sxde— fax [rx

mais

n ‘xdx a grdx= "2 LL gxdx — : ve a'exdx | ‘dx af xpxdx= x 4 zpxdx — À x'exdx

et, par conséquent,

J 'exds =i[e 'erdeac feat

Z'@xdxr ]

En continuant de la même manière on formerait ce tableau : (50)

Je gxdx = Dé exdx PES J'ai ‘à szdx | L'on fe fotos + f'rrxdx ] J'ai frise fonte +3x f'eradr— VE apxde]

etc.-—

etc.

Et, en général,

—(m—1 )27—2 "A xpxdx +R f'orprdz

+eu..…. |]

J1 ne faut pas oublier d’ajouter à chaque intégrale une constante arbitraire , parce que ces constantes sont affectées de diverses puissances de x, et demeurent irréductibles entre elles. Par exemple pour intégrer par ces formules la fonction x”4x*, on fera, dans la troisième, gxz=x", et on trouvera en effectuant les intégrations.

LMI fi ne TS

xmn+2 L J'=-xmaz = f'+ Er re e

æm+i ps J= x dr= fx de Ps + C'

substituant ces valeurs dans la formule, il viendra

A a | 1 xrm+3 Pt .

n grd [EE + Ca EE PL OE axm+3 , Li MES |

ou

xm+3

VE dx? fe ED lac e C'z+:C ; parce que

TES 2x +5

m3 (mines)

Cette valeur de l'intégrale en question est identique

am+3 axm+i m+1 m+2

avec celle que nous avons trouvée dans le numéro précédent, car le signe de la constante C' est arbitraire, et C” ou + C” désignent également une constante arbitraire.

Nous nous contenterons de cet exemple qui nous parait suffisant pour indiquer l'emploi des formules (50) et nous passerons à l'intégration des fonctions de plusieurs variables, dont nous devons donner au moins une idée pour compléter, autant que nos limites nous le permettent, l’exposition du calcul intégral.

54. Nous avons vu (ptrr. 51) que la différentielle totale, d’une fonction de plusieurs variables indépendantes , est égale à la somme des différentielles prises pour chaque variable en particulier comme si toutes les autres étaient constantes. Par exemple, x étant une

IN A] fonction quelconque des deux variables x et}, sa différentielle est

pee 5 dy

du =

désignant la dérivée différentielle par rapport Alp dx et LE la dérivée différentielle par rapport à y.

SA

En comparant cette forme avec une fonction différentielle à deux variables (51), :

Pdx +Q dr,

dans laquelle P et Q sont des fonctions primitives quel-

conques de æ et de y, on reconuait que ceute fonction différentiellene saurait être la différentielle totale d’une fonction primitive w,à moins que l’on w’ait

du du et, par suite, Ù du dQ du dy — dxdÿ' dx — dy.dx Mais d'u du dz.dy — dy.dx

car la dérivée du second ovrdre prise par rapport aux deux variables æet y , c’est-à-dire, prise en différentiant d’abord par rapport à l’une des variables, et ensuite en différentiant par rapport à l’autre, est la méme quel que soit l’ordre qu’on ait suivi dans les différentiations ; on a donc aussi, (52)

dP __dQ

dy dx’ équation de condition qui fera connaître si une différentielle à deux variables est la différentielle totale d’une fonction primitive de ces variables, car cette circonstance ne peut avoir lieu si l’équation (52) n’est pas possible, ou si la dérivée différentielle de P prise par rapport à y, n'est pas égale à la dérivée différentielle de Qprise par rapport à x,