Lorsqu'une différentielle à deux variables est to

tale son intégration ne présente aucune difficulté , car puisqu'on peut alors Mes

AT P;'e di = Pdx

On a, en intégrant cette dernière égalité, par rapport à

x, (53) u—= f Pdx + Y YŸ étant une fonction dey, et tenant lieu de la constante arbitraire qu’il faut ajouter à chaque intégrale. Pour déterminer cette fonction, prenons les dérivées TOM Ale

y et comme si æ était constant,

EN

différentielles des deux membres de (53) par rapport à

nous aurons

du afldz, ‘dY GO dy Or, puisqu'on a D = 10, dfPdx , dY ce qui donne Cle Q dfPdx.

dy ANA dy: ?

en intégrant cette dernière expression par rapport à,

: VE d'fPdx

d’où l’on conclut définitivement (54), #

on obtient

u= jras+ f&[e— à

Telle est donc l'intégrale complète de la fonction Pdx+Qdy.

56. Soit, par exemple, à intégrer la fonction ydx + xdy —2xdzx.

Pour nous assurer, avant tout, si cette fonction est une

différentielle totale, mettons-la sous la forme (y —2x)dx + xdy, et, comparant avec (51), nous aurons

or, dP do) dr, ddr, dy dy dy dx dx l Q Ainsi qe ao ; et conséquemment, (y—2x)dx + dy dy dx

est une différentielle totale.

Maintenant pour obtenir l'intégale, nous avons

JPdx Jty—2x)dz= fydx —2/[fxdx.

= YX— PE dfPdæ |: dyx— æ?) ado dy ca dy À dy — d di Püz D — —— = L—% = 0. :

ay

J'dy,.|o]=0, ou = constante.

donc

u—= Xy — 2? constante.