L'intégrale (54) peut être mise sous la forme

u— fra + [a [o— . de

en partant du théorème

à l’aide duquel on peut différentier sous le sigue /°

par rapport à une autre variable que celle à laquelle il se rapporte.

Ce théorème, dû à Leibnitz, peut se démontrer, par les propriétés des dérivées différentielles, de la manière suivante ; posons

fx = N

nous aurons

uüN Max = dN,etM—-— dx en prenant les dérivées par rapport à y, nous obtiendrons

dM __@N dy — Tax. dx. dy mais , puisque ŒN __ @N dx.dy dy.dx

on a aussi, ce qui n’est qu’une autre forme des mêmes dérivées

aN aN a[&] + dy TT dx donc dN dM dé] dy dx

Intégrant par rapport à x , et remettant pour N sa valeur, on obtient dM pe de — Mao dy dy