Un second exemple nous paräit suffisant pour

mettre dans tout son jour l'emploi de la formule (54). Soit la fonction différentielle

(2? +y°)dx + xydy Va +9" nous poserons pes MR Oo MEUl Vatp Vr+ty

et, pour nous assurer d'abord si la fonction proposée

est une d fférentielle totale, nous calculerons les déri-

a vees dy de ; nous trouverons dP 2{x+y")y —Cx+9)y dy — V2 + +7 = dQ (+r)y—xy de VE

et, après les réductions,

ap __4Q Led dy dx VE +)

Opérant donc les calculs indiqués dans la formule(54), nous aurons

re n Væ+y …. = f 2x? dr Vase

Or, intégrant le premier terme du second membre par

Y'dx Va + la formule (37), on trouve

® ox dx ie Ven

Ainsi, retranchant les intégrales qui se détruisent, on a

seulement [Paz =xVe +7 Prenant la dérivée différentielle def” Pdx parrapport , quiest dfPdx XY dé Ve+r

on voit que le terme

Sale fée

TU | ; ae 1 se réduit à zéro , et par conséquent que l’intégrale de mandée est

ou plutot xV/x+y: + C, car la réduction à zéro de la fonction f dYdy , nous

apprend que la fonction Y ne renferme pas de variable, c’est-à-dire qu’elle est constante.

Une simple extension de la méthode précédente suffit pour obtenir l'intégrale de toute différentielle totale, quel que soit le nombre des variables indépendantes de la fonction primitive. Nous ne pouvons nous arrêter aux détails.

59. Toute fonction différentielle, égalée à zero, fournit ce qu’on appelle une équation différentielle. La forme générale d’une telle équation est (55)

A,dy9+A,dyn—1dx+A ,dy"-2da? & etc....Andx" = 0

lorsqu'elle ne renferme que des différentielles du premier ordre.

Les équations différentielles du premier ordre sont dites du premier degré, du second degré, etc., d’après la plus haute puissance des différentielles qu’elles contien-

nent ; ainsi Ady + A dx —0

est une équation du premier ordre et du premier degré ;,

A,dy° + A,dydx + A;,dx° —0,

une équation du premier ordre et du second degré ; et ainsi de suite.

Ilen est de même des équations différentielles des ordres supérieurs, c’est-à-dire de celles qui contiennent des différentielles d’un ordre au-dessus de premier ; ou les classe, non-seulement par rapport au degré de l’ordre, mais encore par rapport à celui des puissances des différentielles.

60. Résoudre une équation différentielle , c’est trouver la relation primitive qui existe entre les vrriables dont elle contient les différentielles ,ou l'équation primitive dont elle est dérivée. Cette résolution qui dépend généralement de la résolution des équations dites algébriques, est soumise à toutes les difficultés que présentent ces dernières, et ne peut être effectuée que dans un petit nombre de cas particuliers dont nous allons nous occuper.

Lorsqu'une équation dn premier ordre et du premier degré est ramenée à la forme

Xdx + Ydy = 0,

X étant une fonction de æ qui ne contient pas y, et Y

une fonction de y qui ne contient pas x, sa résolution

ou son intégration ne présente aucune difficulté, car

2 [xdr+ a] of Xe + 7 vas

et comme les deux termes du second membre de cette égalité s’intègrent par les méthodes précédentes , on a

VAT + fNar= GC;

C désignant une constante arbitraire. Si l’on avait, par exemple :

3xidx + 27*dy = 0,

on obtiendrait immédiatement

Ainsi le premier moyen qui se présente pour résoudre l’équation du premier ordre A,dx + A dy =0, dans laquelle A, et A; sont des fonctions quelconques de æetde y, est de la ramener à la forme.

Xdx + Ydy — o.

Gr. Cette transformation d’une équation différentielle se nomme séparation des variables; on l’exécute sans difficulté dans les équations de la forme

Ydx + Xdy = 0,

puisqu’à l’aide de la division on obtient

dx, dy x ne NIET dont l'intégrale est Ax dy UD M mr

Par exemple, si l'équation proposée est

daV ip — dyVi—ax= 0,

elle se transforme en

et l’on a

ou (voy. n. 21)

arc (sin =x)— arc (sin y):= arc (sin = c);

140 IN ce qui donne l'équation primitive c'—x'+y'=0o en désignant par x’, y’, c', les arcs dont les sinus sont x,

yetc.