Dans toute équation de la forme

XY dx + X'Y'dy = 0.

on peut encore facilement séparer les variables, puisqu'en divisant successivement par Ÿ et par X'on la transforme en

X Y' x dx + Y dy = 0.

Soit, par, exemple l’équation (ay + xp) dx + (xy°—xy)dy 0,

on trouve

au (x?Lx)dx + (y—1)dy = 0.

ce qui donne

J'e+adr+ [nec

et, par conséquent, en effectuant les intégrations,

pee + y = C 62. En général, lorsque A, et À, sont des fonctions

homogènes de x et de y, la séparation des variables dans l’équation

A,dx + A,dy = 0

ne présente aucune difficulté ; il suffit d'y remplacer y par le produit x, = étant une variable augllaire, car les fonctions A,, A; deviendront généralement de la forme

Zn, L'xm

dans laquelle Z et Z' sont des fonctions de la seule variable z; ainsi l'équation proposée deviendra

Zaxmdx + Z'xmdy ou, divisant par x”, Zdx + Z'dy = o

Mettant à la place de dy sa valeur zdx + xdz, tirée de l'équation y = x, cette dernière devient

Zdx 4 Z'(zdx + xd:) — 0

résultat auquel on peut donner la forme

dx Z'dz PR AE ET IT

Prenons, pour exemple, l'équation homogène oxy dx + (y? — x°)dy = 0 En faisant y = x, nous avons 203, D=r— Ai

et l'équation transformée devient

Mais, par la méthode des fractions partielles (voy. n° 27) où à (z'—1)dx 2747

Ainsi, la transformée devient

2zdz ie Lo