RE + C

64. Si une équation différentielle était toujours le résultat immédiat de la différentiation d’une équation

IN 141 primitive, son intégration ne dépendrait que de considérations analogues à celles du n° 55, mais il arrive le plus souvent que la différentielle n’est pas complète, et alors on est forcé d’avoir recours à la séparation des variables, qui ne peut généralement s'effectuer que dans le cas où la forme de l'équation différentielle est une de celles que nous venons d’examiner (n° 61, 62,63). Il serait donc très-important de pouvoir ramener toute équation différentielle à être une différentielle totale; malheureusement ce problème n’est soluble que dans certains cas particuliers, et nous devons nous borner ici à faire connaître ses conditions générales.

En différentiant l'équation primitive

on obtient l'équation différentielle immédiate ( Foy. DIFF, 20)

ydx—rdy ÿ”

et, par la suppression du facteur y*, l'équation médiate

ydx — dxy — 0.

Cette dernière ne présente plus la condition d’inté-

grabilité (52), car en faisant P —yet Q——x, on à ep NS ssvoiraiQuia lapin.

dy dy 7 de Tirdæu Topo a

tandis que cette condition se trouve nécessairement dans

l'équation immédiate, et qu’en faisant P — RSR TS DE Ji Fe == T 73? on à dP 1 dQ ï SR CNET ME

On voit donc que l’intégrabilité de l'équation ydx—xdy=0 ne 1 .

dépend de la restitution du facteurs , €t il en est de

même de toute équation différentielle du premier degré; une telle équation est toujours susceptible de devenir une différentielle totale, par le moyen d’un facteur, lorsqu'elle répond à une équation primitive. La détermination de ce facteur est l’objet d’une méthode due à Euler. (Foy. le Calcul intégral d'Euler, ou le grand traité de Lacroix.)