L'équation du premier ordre et d’un degré quel

conque pouvant se ramener à la forme

AN Lys 1 CE) a (HT racine (HE)

142 H\ Re sus dy Fe ; | si l’on y considère. comme l’inconnue, et qu'on dé-

signe par 4,, &,, &,, €lC., An, Ses 7 TaCInes, ON aura les z équations du premier degré :

dy y dy —— 4, = — —4a —=0 , 7 —4d;=0, etc.,....

dx Tr L : u

et l'intégrale de chacune d’elle sera en même temps l'intégrale de la proposée.

66. L'intégration des équations du second ordre n'a point encore été ramenée à des lois générales, et le petit nombre de solutions particulières connues jusqu'ici ne peut êtreexposé dans cet article. Il en est nécessairement de même des équations de tous les autres ordres.

Mais , si la résolution théorique des équations différentielles est encore si peu avancée, il n’en est pas ainsi de leur résolution technique , ou, comme on le dit communément de leur résolution par approximation, cette dernière est complètement donnée par une formule de développement très-remarquable, due à M. Wronski. (Foy. Réfutationde la théorie des fonctions analytiques. Page 31.) Nous devons ajouter qu'on doit encore au même savant une solution théorique des équations aux différences du second ordre. ( oy. Critique des fonctions generatrices.)

Pour l’histoire du Calcul Intégral, voyez, dans ce dictionnaire, le mot MarmÉmariques. Voy. aussi Par- TIEL , pour ce qui concerne les équations aux différences partielles.

INTERËT. (Arith. et Ale.) — L'intérêt de l'argent est une redevance périodique payée par celui qui emprunte un capital à celui qui le prête.

L'intérêt d'une somme quelconque s’estime ordinairement sur 100 fr. de capital, et pour une période d’une année, — Si l’emprunteur paye annuellement 3, 4, 5, etc. francs pour chaque 100 fr., on dit que le taux de V'intérêt est de 3, 4, 5, etc. pour cent, et on écrit 3, 4, 5, ec. ps, lo:

Autrefois, au lieu d'indiquer l'intérêt d’une somme 100 fr., on donnait la somme qui rapportait 1 fr. de rente-par an ; ainsi, par exemple, si 20 fr. rapportaient 1 fr. par an, on disait que le placement était fait au denier 20 , de même si 18 fr. rapportaient 1 fr., le placement était dit être fait au denier 18 , etc. — Le denier 20 représente évidemment l'intérêt de 5 fr. pour 100 fr. de capital, le demer 18 celui de fr. 5, 55 172 pour 100 fr., etc. ; une simple proportion indiquera toujours quel intérêt pour 100 fr. représente un denier quelconque.

Le mode de rapporter le taux de l'intérêt à un capital de 100 fr. plutôt qu’à une autre somme est une conséquence de l'introduction en France du système

HY

décimal , il est commode dans le commerce ; mais pour le but que l’on se propose ici, il est plus convenable de rapporter l'intérêt de l’argent à l'unité d’argent, au franc, de sorte qu’au lieu de dire que 100 fr. rapporteut 2, 3, 4, 5, etc. fr. , nous dirons que 1 fr. rapporte fr. 0,02, fr. 0,03, fr. 0,04, fr. 0,05, etc.; en général, nüus désignerons par r l'intérêt de x fr. par an.

L'intérêt est simple ou composé. L'intérêt simple est celui qui se paye à la fin de chaque année jusqu’au remboursement de la somme prètée.

Si l’on prête, par exemple, 1000 fr. pendant 10 ans, au taux de fr. 0,05 pour 1 fr., soit 5 p.°7,, l’intérèt annuel sera de 5o fr. — Cet intérêt n’augmentera pas avec les années, et le capital prêté ne variera pas non plus.

L'intérêt composé est celui qui, au lieu d'être payé chaque année, s'ajoute au contraire à la somme empruntée, de sorte qu’a la 2° année l'intérêt devra être calculé, non plus sur le capital primitif, mais sur ce capital augmenté des intérêts qui étaient dus à la fin de la 1° année , et ainsi de suite.

Par exemple, le capital placé étant 1000 fr., le taux d'intérêt pour 1 fr. étant fr. 0,04 , soit 4 p.°,, l’emprunteur devrait 40 fr. d’intérèt à la fin de la 1° année; mais, au lieu de les payer, il les ajoute au capital mille francs, et au commencement de la 2° année il doit donc fr. 1040.

A la fin de la 2° année, il devra les intérêts de 1040 fr. et non plus de 1000 fr. seulement ces intérêts se montent à fr. 41,60, et, au lieu de les payer, il les ajoute encore au capital 1040 fr.; au commencement de la 3° année, il se trouve par conséquent devoir fr. 1081,60, et ainsi de suite.

Comme on le voit , le capital croît d’année en année, et par suite les intérêts croissent aussi ; l'augmentation du capital est due à l’intérêt du capital primitif qui lui est ajouté annuellement et aux intérêts de ces intérêts, lesquels sont également convertis chaque année en capital. — Ce sont les intérêts des intérêts du capital primitif qui font que celui-ci croit dans une progression géométrique, comme on le verra ci-après, et non dans une progression arithmctique.

De ces définitions découlent deux conséquences importantes :

1° L'intérét simple est proportionnel au capital placé, car un placement de mille francs, par exemple,

peut être considéré comme étant la réunion de mille

placemens différens de 1 fr.

Donc, si C représente le nombre de francs contenus dans le capital placé, r l'intérêt de 1 fr. dans l’unité de temps (une année, par exemple), et ? la rente produite par le capital C en un an, nous aurons

Gr:

IN

Et si le placement est effectué pour x années, nous aurons, en désignant par p la somme de toutes les rentes annuelles, c’est-à-dire r . 2

(1) Pa - Cr.

Connaissant trois des quatre quantitésp, #, C ;r, cette équation (1) donnera immédiatement la quatrième.

> Les valeurs, au bout de z années, de deux capitaux différens placés à intérêts composés pendant ce temps, sont proportionnelles aux capitaux primitifs.

Car si l’on suit d'année en année ce que deviennent deux capitaux C et C' placés de cette manière, on aura à la fin de chaque année des sommes proportionnelles aux capitaux du commencement de l’année que l’on considère, en un an en effet l'intérêt ne peut être que simple; or, si les capitaux produits à la fin de l’année sont constamment proportionnels aux capitaux du commencement de cette année , l’on trouvera, par une suite de rapports égaux, que les valeurs, au bout de x années, des deux capitaux primitifs Cet C’ seront entr’elles dans le même rapport que Cet C.

J1 résulte de ces deux conséquences que les calculs des intérêts reposent essentiellement sur le principe de la proportionnalité, c’est pourquoi nous établirons toutes les formules sur ce principe.

1. Puisque 1 fr. placé à l'intérêt r pendant un an, devient 1—r à la fin de l’année, la valeur de 1+-r placé de même sera donnée par la proportion :

1t1Hri:itbrix= (1+r}.

de même si l’on veut savoir quelle serait la valeur de (1+-r)3 au bout d’un an, on fera la proportion :

tiiri: (rt Hrrix—(r1+r),

et en général (1+#7r)r—1 deviendra (1+4r)" au bout d’un an,

L'on conclut de là que un fr. placé à intérêt composé pendant » années, à l'intérêt r, deviendra au bout de ce temps (1+-r)", (2).

La comparaison des valeurs successives 1+r, (1+r) , (147)... qu’acquiert 1 fr. d'année en année, montre que son accroissement se fait en progression géométrique et non en progression arithmétique.

Exemple. On demande quelle somme aura produite 1 fr. placé à intérêts composés pendant dix ans, le taux de l'intérêt étant fr. 0,045 pour 1 fr., soit 4 + p.°/,, l’on aura 1—r—1,045, n—10, d’où

(ir = (,045)'o = 1,55297.

ainsi 1 fr. aura produit fr.1,55, en négligeant les dernières décimales.

Pour savoir ce que deviendrait une somme quelconque a placée à intérêts composés pendant » années,

nous ferons, en vertu de la 2° conséquence, la proportion