TRANSFORMATION

ISOPÉRIMÈTRE, (Géom.) On nomme figures isopérimètres celles dont les contours ou périmètres sont égaux. {

De toutes les figures isopérimètres régulières la plus grande est celle qui a leplus grand nombre de côtés ou d’angles. C’est pourquoi le cercle , qui peut être considéré comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtés, a une aire plus grande que celle de toutes les autres figures qui ont un contour égal au sien, Par la même raison la sphère a un volume plus grand que celui de tous les autres solides qui ontune surface égale à la sienne,

Si des figures isopérimètres ont un même nombre de côtés, la plus grande en superficie est celle dont tous les angles sont égaux. Considérons par exemple un rectangle dont le périmètre est a, si nous désignons par x sa hauteur, sa base sera <a—x et son aire sera exprimée par (La—x) x, (voy. Aie). Cette aire variant de grandeur d’après celle de x, nous trouverons son maximum en égalant à zéro la différentielle de (4a—x)x ( voy. Maxima ).

Or

d [£ax — a] = Fadx — 2%dx

d’où

AR-ALE pa Ia —2% =0,CtX— za.

Mais le rectangle dont la hauteur est égale au quart de son périmètre est un carré, ainsi de tous les rectangles isopérimètres le carré est le plus grand,

La théorie des figures isopérimètres , traitée en premier lieu par Jacques Bernouilli, fut l’occasion d’une grande discussion, entre lui et son frère Jean, dont on trouvera les détails aux articles biographiques de ces illustres géomètres. Cette théorie, développée ensuite par Euler dans plusieurs mémoires insérés parmi ceux de l'Académie de St-Pétersbourg et surtout dans son bel ouvrage intitulé Methodus inveniendi lineas eurvas ete., a été l’occasion de la découverte du Calcul des Va-

riations. Foy. VARIATION.