ARTICLE CINQUIÈME

Applications du calcul des dérivations au retour général des séries.

Du Retour des séries simples.

On donne un théorème fort étendu sur les transformations des séries ,

duquel on fait découler ensuite toute la théorie de leur retour.

Démonstration de ce théorème 23o.

Conséquences générales et observations sur les développemens 235.

On fait découler du théorème précédent les solutions des problèmes

les plus généraux sur le retour des séries simples 240.

Solutions de plusieurs cas où , au lieu de séries, on a des équations

dans lesquelles entrent des fonctions quelconques 260.

Du Retour des séries doubles.

On étend le théorème précédent sur les transformations à un cas de

transformation de séries doubles 258.

On tire de l'extension précédente les solutions de plusieurs cas généraux de retour de séries doubles 262.

On en tire encore deux théorèmes sur les transformations , dont le

dernier comprend tous les précédens ♦ . 272.

Solutions et formules pour les retours , lorsqu'on a des équations dans

lesquelles entrent des fonctions à deux quantités 274.

Des retours de retour des séries ♦ 284.

Observations diverses.

Théorème sur les dérivations qui résulte des formules précédentes . . . 287.

TABLE. XlX

Conséquences et observations sur les méthodes pour trouver par approximation les racines des équations pàge2Q8,

Observations et théorèmes sur les dérivations , auxquels conduit la comparaison de diverses voies qu'on peut suivre pour arriver aux formules relatives au retour des séries simples 296.