etc. H p«-».(g''"».D.y^).^«tf-«'» + etc

-^ et ^ étant des premiers termes indépendans l'un de l'autre , de sorte que le terme général sera , j^ étant supposé = xg-^ ,

Th

n\ 4- etc. 4- S/^.p^-S.C"" -H- QC.p«-2. g'»'» -h j5. p«-'.ë''"»p" •••Cvi)

260. Rien n'est si facile que de développer entièrement l'expression du terme général des numéros 25; et 259 , et par conséquent de calculer un terme quelconque delà série transformée^ indépendamment des autres. En effet, pour déduire par dérivation les uns des autres les développemens réduits de ^-'"" , D.g'-'"», p2.^-«OT^ p3.g'-«mj etc. ou ceux de ^'»'", d.C"", ^^.^«ot^ p^.g'n/»^ e^c^ ^ il suffit d'employer la règle du n.** 3o, et l'on écrira sur-le-champ ces développemens tout réduits à la suite les uns des autres. Si l'on en veut calculer un séparément, on le trouvera par la règle du n.° 43 ou par celle du n.° 47, en faisant d'abord un premier développement en y.

Si on vouloit ordonner le développement du terme général du théorème par rapport aux puissances négatives de ê*, on auroit par le n.° 100, en développant simplement en y ,

H i JL jL^-«m-2.p/z-3.(y2i,.^) i^ î — {1 ~^ ê^-'"«-S.p«-4.(y3D.^)

, m(n?n-{-i) (nm-+-n—<2) .

DES DÉRIVATIONS. aSy

261. On peut même, d'après nos principes, trouver des règles pour déduire les uns des autres les développemens réduits des coëfficiens successifs de la série du théorème ou de celle du corollaire : pour y parvenir il suffira de

développer, en y , -p'*-^(g'-'"».D.y^)et — -— — p". (€'-'"""'. d.^), et de comparer

entre eux ces développemens ; on en conclura ensuite la règle.

Dans le cas où l'on auroit à déduire du développement réduit de -p^.Ç-*

celui de p" + ^ ê*"*-^ , la règle devient si simple , que nous allons la mettre

ici ; nous aurons occasion d'en faire usage dans ce qui suit.

Je développe en y les deux expressions proposées j elles deviennent, savoir:

ip«.ê*- =

— Ç-'-^Ti^'^.y H ■ g^-«-2pi-3.y2 : J — ^-'-3p«-3.y3

-h etc. =p -^ -Ç "-—^ ^^-'-«.«y»,

-H etc. qz -^ ^ — i— ^--i ^-^-«-»D.y« dt -i- — 7 • \^. ^^ ^ ^-i-«-2.y«-f-i

^^ Q. 3....7Î ' 2. 3....(«-hl)

De la comparaison de la série (h) avec la série {a) découle la règle suivante.

Le développement réduit de — p". £*-' étant donné, pour en déduire celui 1 "^

de — — — p^ + ^.Ç-'-^; dans le premier développement multipliez chaque

puissance de 6" par son exposant pris positivement , diminuez ensuite cet; exposant de l'unité et divisez toute l'expression par 5 H- 1 ; après cette préparation , prenez la dérivée divisée suivante par la règle du ?i.° 3o.

262. Pour que le lecteur voie mieux la facilité avec laquelle nos méthodes donnent les développemens réduits des formules précédentes , nous l'engageons à calculer le développement de l'exemple suivant , exemple bien étendu en lui-même^ quoiqu'il ne soit qu'un cas particulier du corollaire du n.° 25g.

a38 DUCAIiCUL

Exemple.

Transformer la série

A H- Bx -i- Cr2 -f- Dx^ -|- etc.

en une autre de cette forme ,

hx cx"^ dx^

g'H-yx-i-Jjc^H-etc. (CH-7^H-J:»2 j etc.)2 (C-i- y ^ -H «J^^ 4™ etc.)^

On fera m ■= 1 dans le corollaire n.° 259 , et, en développant la formule comme nous l'avons indiqué au n.° q6o, on aura sur-le-champ

c = ^{2CC^ -h B2Qy] ,

e = iliEC^ -h SDiC^y -i- aCiiC^ -^ 6C'y^^) -h B {iCh-h 6C'-2yê -^ iCy^)] , 5i^^5 -H 4E5C4y + 3£>(5 g'4j 4- 1 og'3y2) | Q C(5g'4g -H 1 o^3g.yJ^j 1 o^2y3) j -H ^(3^4^ -h io^3[gy£ } ^2] + loê'^SysJ | 5giy4)S *

et ainsi de suite. Ici les dérivations se font , non en passant d'un des termes b, c , d j e , etc. à l'autre , mais sur les quantités qui composent chaque terme •en particulier , de sorte qu'on peut ainsi calculer le développement réduit d'un terme quelconque an sans connoitre les autres termes.

Si l'on veut ordonner suivant les puissances de C le développement réduit d'un terme quelconque , du septième par exemple , on prendra pour guide la formule du n.® 100 , et l'on aura sur-le-champ

ÇC\6G H- 6C^y5F -+- ^4^: 4- s3D -f- ^qC -h y,B]

^ ^- i5ê'4{yM£^ -^ QySSD H- (2ys -f- <J^)QC-i- (27^ H- Q$a)B] ^ ~ '^ ^ 20Q^y^3D + 3y'^§2C 4- (3y2g h- 3yl^B\ +- i3^2|y42C-4- iy^êB] -f- 6Cy55

263. Parmi les usages qu'on peut faire du théorème précédent , se présentent d'abord les deux sui vans-:

1.° Introduire dans une série proposée quelconque une autre série arbitraire, en ordonnant la première suivant les puissances de la seconde , et cela sans que

la série proposée change de valeur ; ce qui donne le moyen de connoitre les sommes d'un grand nombre de séries.

2.^ Rendre une série proposée convergente à volonté, en la transformant en une autre dont les dénominateurs soient les puissances successives d'une série quelconque , à laquelle on peut donner des termes tels et en tel nombre qu'on voudra.

On peut se faire une idée de ces usages en lisant le chapitre i." de la

2.^ partie du calcul différentiel d'EuLER , où , après avoir transformé la série

■ A H- Bx -h Cx"^ -\- etc. en a -\- by -\- cy"^ -h etc. , y étant successivement

égal à et à , ce qui forme les deux cas les plus simples de

l'exemple du numéro précédent , l'auteur se sert de ces transformations pour sommer différentes séries ou pour les rendre plus convergentes. Les autres transformations qui se trouvent ensuite dans le même chapitre , sont des cas particuliers de notre exemple du n.° 6q. On voit donc que cet exemple et le théorème du n.° -2 57 peuvent servir à des applications pareilles, plus nombreuses et plus étendues.

264. On aperçoit facilement combien le théorème du numéro q57 est étendu, en considérant que , x y ayant une valeur quelconque , on peut faire ic= 1 , et alors, comme ^, B^ C , D ^ etc. , C, y, J, g, etc. sont quelconques, ces quantités peuvent être ou entièrement indépendantes et arbitraires , ou des fonctions arbitraires, ou des fonctions régulières et continues de Xy de X et de jK » ou d'autres variables ; le théorème subsistera toujours.

On peut , par exemple , regarder la série

A-\-B-Jr-C-^D-^E-\- etc. ' - ■ • r ^

comme le développement de cette fonction de polynôme ^(2i -HS5H-(SH-S)-I-^-I- etc.), et la série Ç~\-y-+-^-^e-\~ etc. comme le développement de 0(aH-b-f-c-H-b-}-e-+- etc.). ^

(II

265. Passant à présent au retour des séries , on verra découler du théorème et du corollaire précédens les propositions les plus belles et les plus généi aleis qu'offre cette matière , et nos méthodes de dérivation donneront les moyens de développer , toujours avec facilité , les formules que l'on obtiendra.

Soit proposée la série

y z= Sx -\- yx^ -+- Sx^ -f- 8^54 -H etc. ; on demande à exprimer :c en j^, c'est-à-dire à déterminer les coëffîciens de la série -jj __ ^^ ^ ^ja | ^^5 | ey^ -{- etc. 4- /z„^« -+- etc. C'est le cas de Newton , dans sa lettre à Oldenburg, du 34 octobre 1676.

On voit que cette question se ramène à celle-ci : Transformer x en une* série de cette forme :

bx(Ç -^ yx -h Soo^ -+- etc.) -h cx^(C -H yx ■+- ^x^ -f- etc.)^

H- dx^i^Ç -^ yx -\- §x^ H- etc.)5 -f- etc. Comparant avec le théorème du n.° 25; , on a w = 1 , xç =. y , et la. série A H- Bx -}- Cx"^ -f- etc. se réduit ici au seul terme x ; on fera donc dans la formule ( vi) , i5 = 1 , et tous les termes A ^ C, -D , etc. , An-i , An y etc. = o, ce qui réduit le terme général à

Ainsi la série demandée sera

Ç-^,y -4- 7D.Ç-2.j^2 | i.p2.g'-3.j^3 -t-"^p5. ^-4.j4 -f- etc. H p''-^g"-«.j» H- etc. ,

série dont la loi est très -simple. Il est aisé d'en développer séparément un terme quelconque par les règles indiquées au n.o 260 ; et par la règle du n.°26i, on peut écrire, sans s'arrêter, le développement de la série même, continuée autant qu'on voudra. En voici le commencement :

X = C-\y — C-^y.j^ -h- { — C-^S -+- ic-5y2]y5

+ { C'^s 4- 'C-^Qy$ - ^^"-7^31^4

^--Jn 4- -^-H^y^-H 2^s) — r^^-9(3y^£ + 3yj^^)

etc

DBSDÉRIVATION5. Z^l