etc. H- D«-».(;^^''-'5.D.v^).j« + etc

où il s'agit de déterminer p^ p\ p", etc. p^*'-^'>, p^"^ , etc. en 5' et w. A cet effet , de l'équation ( i ) je tire celle - ci

X = j(C -+- yx -h êx^ -+- gx3 -H etc.)-'», ou bien X z= j(g'-'» H- D.ê'-'".a; -H ps.ç-m^a | p3.g>-OT.^3 4 etc.) ....(3) Afin d'éliminer x de cette équation , je transforme les deux fonctions de x qui y entrent , savoir x et C-"» -h D.C~'".ar + p2.^-»n^2 | ç3.ç-m.3;5 | etc. , en séries ordonnées suivant les puissances de j^ , et cela au moyen de la formule générale ( 5 }. Pour transformer la première , savoir x , il suffira de faire , dans la formule (q) , A =Oy B = a. A = i , C, /), etc. = o ; et pour transformer la seconde , il suffira de faire , dans la même formule ( Q ) , A = C'" , B = D.A = jy. C'"" , c = p2. g'-OT ^ £) = g3, ç-m ^ etc, j et l'on aura les deux transformées suivantes, X = p,jr 4- n.p'.jy^ 4- T>^.p".j^ 4- d5.^"'.^4 4- etc. 4- d»-*.^^""'^;/» 4- etc. ,

et ê*"" H- Tt.Ç-^.x -H p2.^-w.^2 ^ pS.^-w.^S ^ etc. :=:

-H etc. -h D''-'.(;7f''-'\D.g'-'").j'' + etc. Substituant à présent ces deux séries en y dans l'équation ( 3 ) , elle devient pjr -{-> D.p\j^ H-jd2.^".j^3-}-d5.^'".j^4 -j- D4.y»'^. j5 4- etc. +D«-i»;7^'*"'^/«-j-etc. =

Ç-«j4-/7D.g'-«.j2^I).(^i.D.Ç-m).j3|i)2.(pii.D.g'-m),j4^etC.4-D«-a.(/?^'*-").D.g'-'")/K^

équation , toute en^, qui sert à déterminer les valeurs de /?, p% p"^ etc. , p^"^, etc. En eFfet , en égalant entre eux les coëfïïciens des mêmes puissances dey , on a i.o p == g'-'»,

2.0 D.p^ == pjy.C"'" = 6'-'"D.Ç-'» = ^D.ê'-^'», ê*-'» étant regardée pour le moment comme la variable. Donc/?' = f^-^*».

3.° d.d" = o'd.C-" = -Ç-2'»d.Ç-'» = -^ D.g*-^'». Donc »" = -^ ^-3'»..

4.° D.»'" = o"D.g'-" = -^ g'-3'»D.ë'-'» = — \ — d.^-4'». Donc D"' = — ^ — C-4« ; ' ' 2. 3 2. 3. 4 '^ 2. 3. 4

et ainsi de suite. Si , de cette manière on a trouvé dC"-") = — . g^C»-!)*».

w étant 5 ou tout autre indice , on aura, pour le terme suivant ,

Donc z?^""^ = — ; 6*-'*"» ; ce qui fait connoître la valeur d'un terme quel-

conque, et démontre que ces expressions suivent constamment la même loi. En substituant dans la série ( 2 ) ces valeurs de /? , p% p" , p^" , etc. , ^^""^ , etc. , on a ^ ^ b^ ^ Cx^. | /)^3 + Ex^ -4- etc. =

^ H- C-'".D.A.y ■+- ^D.(C-2'»,D.^).j/2 -I- i.p2. (g'-3«.D.^).jj^3 ^ etc.

j p«->. (^-»'». D,y^).y» -H etc.

Corollaire.

2.5g. Puisque , dans le théorème , m est quelconque ; si l'on y change m en — w , on aura cet autre théorème :

Pour transformer la série quelconque

^ H- -5a; -H Cx^ + Dx^ -+- Ex^\ H- etc. ••••(!)

en une série de la forme

bx cx^

(ê* + yx + J'xa 4. etc.)'" (ê" + 7^ H- (ÎJ22 j etc.)^

• ■ • (iv)

a36 DU CAIiCUL

bx cx^

"^ (g'+y.^.+^^^ + etc.;^'» "^ ®*^* ."^ (C+ya; + }i;2^etc.)'"» "^ ^*^* ' en faisant pour abréger

ç = C -f- y^ 4- <î^2 f- gas3 -I- etc. , . . .'(m)

on aura la formule suivante

•/ ;'/ A -h -5a; -f- Cx2 -f. £)a;3 H- J5^4 -f- etc. =