Soit proposée l'équation

^ z= x{^ -h yx -\- Sx^ + gajS H- etc. )" ; ( 1 )

on demande à exprimer une puissance quelconque x'^de x par une série en^.

La solution de ce cas se tire du théorème de deux manières différentes : dans la première on supposera l'exposant r un nombre entier positif ; la seconde fera voir que l'on obtient la même formule , r étant quelconque.

Première manière. On a ici^ = xç"^, comme dans le n.° 25;; il suffit donc de comparer .x'' avec la série A -+• Bx -+• Cx^ •+• etc. -+- Ard^ -f- etc. : cette comparaison donne zéro pour tous les coëfficiens A , B, C, etc. à l'exception de At qui est == 1 ; de cette manière l'expression (vi) du terme général se

P pp

ft42 DUCALCUL

réduit au terme unique

anY" =

Ainsi , puisque l'indice de d ne sauroit être négatif, ce qui exige que n ne soit pas <[ r, on voit que le premier terme de la série demandée est -p°. C"'"'".^'";

et la série elle-même sera

ç3.C-(''+3Ky'"-t-s | etc. -h D''.€'-('" + «Ky'"+« -f- etc.,

formule dont la loi est fort simple.

268. Seconde manière. L'exposant r étant quelconque , je mets l'équation proposée ( i ) sous cette forme x = j(^C -h yx + Sx^ -+- sx^ 4- etc.)-'" ; de là il vient , en prenant la puissance r,

j,r —. y(^^ ^ yx -^ h^ -4- gx3 -+- etc. )-'■'«, et

^Ty^r — - Ç-rm | y>X-"^'X -f- p2. ^-rm. ^2 ^ p3.Ç-m.a.3 | etC. ; (3)

égalant le dernier membre de cette équation à la série A ■+- Bx + Cx"^ -H Dx^ -\- etc. du théorème , on a ^ = Ç-''"^ , B = n.A = d. Ç-^"^ ; donc

Ç""^D.y4 == e'-'"»D.g'-''« = — HhÇ-C'- + «)«-! y = — D.C-(''+«)«

= — — — D.^- ('■+»>. Substituant cette valeur dans le terme général (v) du théorème , on trouve

Multipliant par j»" l'équation (3) , on a pour a:*^ la même série (c) que ci-dessus.