Exemple. Soit proposée l'équation

G = — ce -h Cx ^ yx^ -f- Sx^ -f- sx^ -+- etc. -+- usX'; .... (4) on demande la puissance quelconque x'' de la racine x.

On fera m = 1 et y = oc dans la formule (c) ci -dessus, ce qui donne

H y-ô P^. 6*-'"^. a' + 2 } etc. H Ç — p». g'-'^-». «''+ » |- etc. ;

et en développant par la règle du n.** 261 , on a sur-le-champ,

,) " l.a 1.2.3 (Kr + 4

-H etc.

Nous voilà parvenus sans aucun détour à la série que Lagrange donna le premier au n.** ig de sa nouvelle méthode pour résoudre les équations litté~ raies par le moyen des séries , imprimée dans les mémoires de Berlin pour 1768; et nous avons de plus un moyen très - expéditif pour continuer cette série aussi loin qu'on voudra ; il faudra observer seulement que ocs est un dernier terme.

Si l'on donne à la formule (5) ci -dessus un premier développement en y, et qu'on ordonne suivant les puissances négatives de C, on trouve

X' = C-'. oc' — rC'r-2,y^^r+ 1 ^ .>.*-(?)

- rê*-7(p5.y.«r-f.6 L±lp3.y3.^r4-5 ^ L±l:l+iD.73.^r+4)

— etc. ;

la loi se présente d'elle-même et les développemens ultérieurs n'ont aucune difficulté. Cette série s'accorde avec celle que Lagrange a trouvée au n.° 18 du mémoire dont nous venons de parler.

244 ^ V C A li C U I<

•2^70. On a y = ^(? + 7^ -f- J^^ + ex^ -+■ etc. )'» ,

et l'on demande l'expression sans œ d'une fonction quelconque de x.

On peut tirer du théorème du n.<> 0.57 deux manières de résoudre cette question , l'une lorsque la fonction y^/x peut se développer en une série qui procède suivant les puissances de x , Fautre qui s'étend aux cas où ce développement n'a pas lieu.

Première manière. Les valeurs de ^ , de jj^ et de tw étant ici les mêmes qu'au théorème , et -v^o: pouvant être convertie en une série ordonnée suivant les puissances de a:, je fais \jya; = -vKa H- a:), et j'ai

■s\jx ^= \pa -h D-J/a.a; H- p^^a.x^ -f- p3^p(t.:r3 -\- etc. , pourvu qu'après les dérivations je fasse a = o. Comparant cette série avec lav série A -+- Bx H- Cx^ 4- Dx^ -H etc. , le théorème donne sur-le-champ

-H etc. H — p«-i.(6'-'"».D\)>a).j)^'' -{-etc., ***^ -^

fotmule dans laquelle na = 1 et a doit être fait zéro après les dérivations.

Si l'on ne fait pas a = o après les dérivations , cette même formule donne la valeur de \p(a-l-a;), a étant quelconque.

271. Exemples. Si y = Gr H- yx"^ H- ^x^ -f-gx^ -f- etc. , en faisant m = 1 , on trouvera ainsi pour c*, sina; , log(i -+-a;) , les séries suivantes , e étant la quantité dont le logarithme naturel est = 1 , et log désignant le logarithme naturel.

H- -(p3.Ç-4 + in2.Ç-4 + -^D.Ç-4 H L.- ^-4W4 }- etc. ,

4^^ iC i.Q 1.3.3-^ '

où la loi est évidente ; de sorte qu'on en conclud facilement le terme général, sinx = ^-\y + l-D.C-^.y^ H- ^(p2.e'-3 ^C-3)jK^

-^ z(P^-^"^ ^p3.^-6 H 5 — D.MyS -+- etc.,

6^^ l.QC i.Q.3,4 ^'^

où la loi est encore évidente.

Sans

JD E s D É H I V A T I O N s. Z^S

Sans faire a = o , on a logfa -{- x) =

-f- 7(a-»p3.ç-4 a-*g2.ç-4 -H a-3D.^-4 — a-4C-4)j4 4- etc. Si a = 1 , cette série devient log(i4-ar) = €-Ky + ^(0.^-2 — ^-*)j2 +. jfp^.^-S >. d.Ç-3 -4- r-5)j>^5

-h 7(p5.€"-4 — p2.^-4 + p.C-4 ~ C-4)jk4 + etc.

272. Seconde manière. Si \|/x est de nature à ne pas pouvoir être développée suivant les puissances de x (telle est la fonction logx), on aura recours au procédé dont nous avons fait usage au n.° 2.68 , et que nous allons généraliser.

Mettant l'équation proposée sous cette forme

- = (C -4- 7X + <Jx2 + gx5 + etc.)-'» == .

ç-m ^ D.Ç-^.o: 4- B^.Ç-'».x^. -j- pS.^-w.a;^ -h etc. , (1)

nous aurons , par nos méthodes ,

^(y(- ) = -vK^-») + D. '^{C-"^).x -h p2.-^(C-'").x2 + p3.-4y(C-'»).a:5 + etc. . . .(2)

Comparant à présent le second membre de cette dernière équation (q) avec ^ -j- Bx -f- Ca;2 -f- etc. du n.° q57 , le théorème donne sur-le-champ

- p2. {^-3«.D.-vP(C-'»)}.73 4- etc. - p«-i. {Ç-«'».D.vK^-'»)}.j« + etc. Cette formule présente une loi fort simple.

275. Exemple. Soit j = j: ( ^ 4- yx 4- ^x^ 4- ga;3 4- etc.), on demande logx par une série en ^.

On fera m = 1 , ■yl'ixy-^) = log(x7-^) =loga: — ^^gj» ^P^"* = log^-* =

— logÇ, donc j).y\^C-^ = — C~^T>Xy et le coefficient de y» sera -p''-i.( — C"""^d.Ç) 1 . n

= - D". C"" ; ainsi la série sera n^

Ipgar = (3)

log(C-^j) -h D.Ç-».7 4- -p^.C-^.jK^ 4- ip3.^-3.^3 4 ip4.f-4.j4