etc. 4- - P". C'^'Y" -h etc

Qqq

246 DUCALiCUL

formule remarquable par sa simplicité ; elle est facile à développer par la règle du n.° 261 , et son développement réduit s'accorde avec la série que trouve Lagrange au n.'^-ig du mémoire cité.

Si l'on veut que la série soit ordonnée suivant les puissances négatives de g", il suffit de faire un premier développement en y , et l'on pourra ordonner la série comme la dernière (7) du n.° 269 ; on aura ainsi une série qui s'accorde avec celle que trouve Lagrange au n.° 18 du même mémoire : mais, après avoir fait ce développement , on peut encore ordonner la série de la manière suivante , ensorte que les colonnes renferment chacune des quantités en y de même dimension ,

loga;=log(C-»7) — C'^-y-r -^ -Q-^.yKy^ — ^Ç-^.y5.j3 | etc.

— ^-^D.y.j^2 ^ -^-5D.y2.j3 — !^g'-7D.y3.j4 -|- etc.

(4) — €^-452.^^3 f ^C-^p2.y2.^4 Li^-8p2.y3.j5 ^ etc.

— €'-5ç5.y.JK^ H ê'-7p3.y2.j5 __ Zl.^ ^-9p3.,y3.j^6 i etc.

— etc. + etc. — etc. -t- etc. , Ici la loi est encore très -facile à saisir.

274. Dans la solution précédente nous avons trouvé l'expression de •^{xy~^)y où y est mêlé avec x : voici comment on peut s'y prendre pour avoir une fonction de x seul.

On écrira l'équation (1) du n.° 272 de cette manière :

:t = Q-"'.y -H D.l^-"^.y.x + 'D^.Ç-'^.y.x^ + p3. g'-m.jj^. q;3 4 etc. et, en supposant Q-^'.y = b , Tt.Q-'^.y = c , p^. ç^m^y = j, ^ etc. , y étant invariable , on aura x z^ h -i- ex -\- \>x^ -h tx^ ~{- etc. ; donc \|/x = -J/b -4- Ji.^^^h.x H- ^-.y\/h.x^ + -g^.y\^h.x^ -h etc. Comparant ce second membre avec A -\- Bx + Cx^ -h />a:3 -f- etc. du théorème, on a

H- etc. H p''->.{€'-'"".D.\)/bj.jK" H- etc.;

DESDÉ-RIVATIONS. 247

après le développement on remettra à la place de b , c , b , etc. leurs valeurs , qu'on développera à leur tour en regardant j^ comme invariable.

Quoique le développement de cette série ne s'ordonne pas toujours suivant les puissances dej^, puisque^ entre sous le signe de fonction, il donne cependant pour x*" et logx, dans les cas des n.*** 269 et 273 , les mêmes séries que l'on y a trouvées.