On propose l'équation

y = ÇxP -h yxP + 9 H- SxP+^i -+- axP-^^9 H- etc. , . (i)

p et ç étant des exposans positifs ou négatifs , entiers ou quelconques; et l'on demande une fonction quelconque de x par une série en y.

En écrivant , pour plus de commodité , f/:p au lieu de -, et en prenant

successivement la puissance ^:pet i:p de chaque membre, l'équation (1) devient

yr-p = xi{Q -h yxJ H- $x^^ -h sx^P -h etc,)r-p^ (2)

et yp = x{C -h yxi H- âx'^i -+- sx'^'i H- etc.)*=^.

Cette dernière» équation donne

x.y-^-P = C-^'P -H D.Ç-\;P.a:î + ç2.ç-i:/».a;2ï -4- p3. g"-! : r.a:^? -j- etc. , ..(3)

et prenant la fonction \|/ de chaque membre , on a par nos méthodes

^{x.y-^-P) = -^(C-'-P) -h Ji.yi>(Ç-'--P:).x9 -h p2.-vKC-»-^>a:2î

+ p3..j^(Ç-i:p).^3î | etc. + ^''.ylj{C-^-P).x"9 -h etc. ^^^

Comparant avec le théorème du n." 25; , savoir l'équation (2 ) avec l'équation

j = x{€ -h yx -\- èx^ -h ex^ -H etc.)« du théorème , et le second membre de l'équation (4) avec la série •

A ~{- Bx -\- Cx^ -t- Dx^ -I- etc. -t- An.x"" + etc. , on voit qu'il suffit de mettre xi ^ yt'-P ^ q \p au lieu de x ^ y ^ m, et \K€'"'* -P)-! D. \[/ ( Ç- * = P) , au lieu de -^ , 5 = d. ^ , respectivement , et le théorème donnera

%Ka7.j-»=0 = •••••(6)

xJ/(^-»=/') + C-î=^D.-vK^-»=i').jri' -h -v»,\i^-n-p.Ti.-\i{^-'''P)\.y^rp

|lç2.{^-3î:p.I).^(Ç-l:f)j.^3î:i»|etC.-^--p«-^{^-«î=/'.D.^^(^->=i')î./''î=i'+etC.

Si l'on veut avoir une fonction de x sans mélange dey , l'équation (3) donne

X = ^-^'•P.y'^ = F -f- D. g"-! : P.y"^- P,X1 + p2. J^-\-p.y'^'P. X^l -f- D^.^-i: f.^l: P. X^l + CtC.

248 * -DUCALCUIi

Je fais l^-^-Py'^'f = b, n.l^-^'P.y^'f = c, etc., jf^-P étant invariable; cette équation devient par là

ac = b -f- cxî H- bx^î -h ex^î -h etc., et l'on aura de plus

y^fx = <v|/b H- D.-v^Ko:? H- pa.^^.a^a? -\- p3. ^^.^3^ j etc. Je compare le second membre de cette équation avec la série yi -f- Bx -f- Cx^ H- etc. , et l'équation (2) comme ci -dessus; et le théorème donne

y^ioc = (h)

■vj/b + C-9-PB.yl/h.J^-P -+- -D.{^-2î=i'.D.-4/bj.j2î:p }- i p2. {^-3?: y.D,^^ j.yjip

-f- etc. H — ^"-^1^-"?=^. D.\)yb}.j''î=F -f- etc.

Après le développement, on remettra au lieu de b , c , b , e, etc. leurs valeurs précédentes j qu'on développera à leur tour en regardantj^» ' P comme invariable.

Si l'on a jx' = €x' -+- yx' + ^ -\- ^x'+^9 -+- ga;*-+-% | etc. , ce cas se ramène au précédent en divisant par x' et en faisant ^ — ù = p.

Si l'on a. X' = j{^x' -h yx'+9 -h Sx'+^^ + sx'+^9 -f. etc.), on peut faire jy^ = i : ç^, et ce cas se ramène encore au précédent.