Exemple. Étant proposée l'équation
o = — oc -h- CxP -h yxP-^1 -H to+=? -h sxP+^9 -4- etc., p et ç étant quelconques , positifs ou négatifs , on demande x"^ par une série ordonnée suivant des puissances de a.
Il suffît de faire, dans la formule (g), yl/(x.y- »=/')== (x.y-^'-py =zx^.cc~^-P;
on aura -^{Q-i-p) = C-'-p y b,-^{C-^-p) = d.C-'-p = ^ -C'-p-^b.Ç;
donc ^-«î = PD.4/(Ç-i = i') = — -^-(«î + '")./'-iD.Ç = T>.C-ir + nq):p.
p r + nç "^
ainsi le terme général est — p''.^-('-+«î):F. «"î^i*, et en multipliant tout
par ot^-P y la série sera ^
Ç-^-P.oc'-P H ; T>.C-^'+0-P.cc('+^yP H n2.g-(r4-2y):/».a(''+2î)^i»
H ;^- p3.C-(''+3î) : P. ^(r + 3î): P -j- etC. -\ ^ ©"•C-^'-»- "9)- /'.»('' + »î) ^ /» -f- etC.
Celte formule se développe facilement. *
On
On peut aussi, après lui avoir donné un premier développement en y, l'ordonner par colonnes verticales , chaque colonne contenant des quantités en y de même dimension , ainsi que nous avons disposé le développement en v y de logx au n.*' Q73.
Pour appliquer la formule (i) à un cas très-particulier , prenons le second cas de Newton dans sa lettre citée au n.° q63 , savoir : Étant proposée l'équation
y z= Çx -\- yx^ -^ (Ja;5 -H sxl -j- etc. , on demande of par une série en j^.
On fera p z=: 1 , ç = 2 , r z= 1, oc = y ^ et l'on aura
C-^.y H- -D.^-y -H rÇ2.^"V^ H- etc. H -p«.g'- a» -1^2/1 + 1 ^ q^^^ ^
et en faisant le développement réduit , X = C-^»jy — C~4y.^3
+ etc. '
277. Exemple. On demande logx , dans la supposition de l'exemple général du numéro précédent.
Pour avoir logx dans cette supposition, on fera \|/ = log, et l'on aura '\lf(x.y^'-P) = log(x. a~^-^) = logx — lo^oc^'P ; ensuite D.-vKê""*-^) =
D.logg'-i:F = — io-Iogê' = — -^ = — -ê'-'D.Ç; doncC"'rPD.yh(C-'-P)
° p ° p C p TV/
devient =; ^-"^-p-^d.C = — b.C-"^-p. et le coefficient de u'^r-p sera
p«-ï.D.C-"î = /' = — P". g"-"?: F. La série sera donc
logx =
\oM-^-P,<x}-P) H H.Z-I-P.UÎ-P H p2.^-2îii'.a5 2î:? H-— -p3.^-3î:i'.«^^î:i'
q Q.q^ ùq^
-h etc. H B^.Ç-TP.ccT-p H- etc.
Si l'on avoit^ = Cx -{- yx^ -+- §x^ -H ga:7 H- etc., on feroit p = 1 , q = 2 , ce = y, et l'on auroit
a50 DUCAIiCUL
logar = log(^-»^) + lT),Ç-2,y ^ i:p2.^-4.yf -H |p^.^-^.^ H- etc.
* "ii-
H p''.C-2".y2« -i- etc.
Les formules que nous venons de trouver depuis le n.° q65 , sont trèsrégulières et très - aisées à développer : nous allons passer au retour des fonctions , dont l'usage est encore plus étendu.
