On a l'équation

(pi

et l'on demande une autre fonction quelconque de ^, savoir y^^t.

it — oc)(ùù = y, ou « — /^ -f- =^ = o,

^ ^ *^ cpt

DES DéniTATlONS. z5l

Ce cas se ramène au précédent en faisant ù = ce -h x; car , substituant cette valeur dans l'équation proposée , elle devient x(p{oc + x)=y; et puisque •v}/^=:i^-J/(« + t — ce), en ajoutant et en retranchant oc en même temps , on a -^l/ù = %li{oc + x); il suffit donc de faire « = « dans le numéro précédent, et la formule devient

H- etc. H D«-»{((pa)-«i)-vJ/a}.j^« -4- etc.,

où ^ est la seule variable , sa dérivée d ce étant = 1 .

Si l'on avoit (ce — t)(pt -{■ 1 =0, il suffiroit de faire ^ =1.

280. Étant donnée l'équation suivante on demande à exprimer en a et j^ une autre fonction quelconque \|/(a + x).

La proposée donne —j — — — r- = j^ , ou bien en développant ,

•^ (poe + DCpce.x + D^<pa.ar^ + ^^(pce.x^^ + etc. '

je compare le dénominateur avec g du corollaire n." 239 , et en faisant m = i , j'ai ^ = xç-^'y je développe pareillement \Kft + ^) , ce qui donne

\|/a + D-vj/a.ar H- ç^^û.o;^ H- p^-vpa. or^ h- etc., que je compare avec ^ -i- Bac -+- Cx- --{- Dx'^ -^ etc. du corollaire, et l'équation (iv) me donne sur-le-champ

H- etc. H p'»-»{(<pa)''D\|/aj.j^« -H etc.,

a et « étant des variables indépendantes, et Da étant == 1 , d» = i.

Si dans le cas présent et dans celui du n.° q 7 8 on vouloit avoir , non \J/ (a + x) , mais -vpx, il suffiroit de faire a = o , dans les séries (A) et (C) après les dérivations effectuées, pourvu toutefois que y^yx ou \[/a ne soit pas une fonction telle que la supposition de a = o rende -v^a et toutes ses dérivées D\J>a , p^-vj/a, etc. zéro ou infinies, comme cela arrive dans la fonction logo;.

a52 1>U CALCUL

281. Exemple. Ayant x = y^{cc + a:) , on demande x. En faisant DN^a = 1 , et \|/a = o, on trouve

X = (pcc.y -f- ^B((pxy.j^ ■+- ^p^(<p«)^-JK^ H- etc. H- - p«-^ ((^aj^jK" -l^etc.