Étant proposée l'équation

t — oc oc .- t -\- j(pt = o, ou = J,

<p^ étant une fonction quelconque de ^, on demande la valeur en a et j^ de i\jt^ autre fonction quelconque de t.

C'est le cas du beau théorème de La grange , publié pour la première fois dans les mémoires de Berlin pour 1768, page 276.

J'écris cc-^ t — a au lieu de t dans (pt et \p^; l'équation proposée devient —. — 7773 — \" =JK j et \pz^ devient -^{cc-ht — a) ; je fais t — oc = oc^ et j'ai

Comparant avec le corollaire, comme on l'a fait au n.° q8o, l'équation (iv) donne sur-le-champ . (T\\

■^oc -H (pa.D\p«;.j H- -D|(^a)2D-v(/aJ./2 -H ^ p2J((pà)3D\|>aî.jK^

H- etc. H p«-^ {((p a)" 0-4/05 j.^« -t- etc. ,

a étant la seule variable et n « = 1 .

Si l'équation proposée étoit oc t -\- (pu =: o ^ il suffîroit de faire y=\,

dans cette formule (D), laquelle s'accorde avec celle de Lagrange.

Plusieurs Géomètres se sont occupés à donner des démonstrations du théorème de Lagrange. On vient de voir la série (D) <lécouler naturellement du théorème du n.<* 267, et comme nous avons donné de ce théorème une démonstration rigoureuse et fort simple, celui de Lagrange se trouve démontré d'une manière qui réunit la rigueur à la plus grande simplicité.