Étant proposée l'équation

oc = ¥{oc -^ y(px), (1)

F et (f) indiquant des fonctions quelconques , on demande une autre fonction de X quelcoiique, -^x^ exprimée en a et y.

" Je

DES DÉRIVATIOKS. 253

Je fais t = oc -+- y(px; j'aurai a; = F^ et <px = çFt ; de là on tire

^^ y = -^f^y et ^^a; = v|yFz^; (q)

comparant avec le numéro précédent, on voit qu'il suffît d'y changer «yjy en \|/F et Ç) en (^F , et l'on aura , a oc étant = i ,

\{/Fa --h ((pFa).D(v|/Fa).jK ■+- -D{((pFa)^.D(\t/Fa)}.72 ^

|-p2J((pF«)3.D(\PF«)|.j3 f etc. -h ^p«-l5((pF«)''.D(^^Fa)}.jK"-+- etc. ,

formule qui s'accorde avec ce que trouve Laplace , mémoires de Paris , année 1777 7 page ii5.

284. Tout demeurant comme ci -dessus, on peut encore donner une autre forme à la série qui exprime ^l/x en oc.

En effet, x z=F{oc +JK^-^) devient, en prenant la fonction (p de part et d'autre et multipliant par j^' , j^ (J) :c = y(pF{oc H-^<p<^) ; faisant j^(P a; = w , onaw =j^(pF(a+ w); comparant avec le n.° 281, on trouve, pour w,

w = yCpx = (pFcc.y -h -D{(pFocy.f^ -+- -r-p2((pFa)3.j3 j etc.

H p«-»((pFa)«.j« H- etc. ;

substituant cette série dans x =F(a +y(p^)i et prenant de part et d'autre la fonction \|^ , on a donc aussi

^Px = (E*)

^^^F{cc-h (pFcc.y-\- -D(cpF«)2.j2 } lp2((pFa)3.j3|etc.-i--p«-^((pFa)''.jK"-+-etc. j.

Cette expression , comparée avec celle du numéro précédent , présente un théorème sur les dérivations dont nous nous occuperons par la suite.