Exemple. Étant proposée l'équation
X = ^{oc -^- CxP H- y XI -h Sx' -h etc. y, (1 )
V étant une constante, et «, C, y, S, etc. , p, ^, r, etc. , s, des quantités quelconques ; on demande x.
En faisant f « = C. ec'P. vP -+- y. oc'^. v^ -h J*. a^'. ^'' + etc. , on aura , par les n.°^ 284 et 283 , en regardant a seul comme variable , la dérivée d» étant = 1 ,
DU CAliCUI.
v[» -4- fa -H -i)(f«)^ -+- |-g^(f«)' + etc. -+- -p«-'(f«)« -t- etc.]'
+ etc. H p«-ïj(fa;)«. D.a'} -f- etc.
En effet, comparant l'équation proposée avec x =z F(a5-!-(p.x), en faisant jj/= 1 dans les n.°^ q83 et Q84, on aura Fa = va*, donc (pFa = <p(ca'); ensuite cpo: = ê'x? -H «ya:? -f- (Jo;'' + etc. , donc (pFa = ÇvPcc'p H- yi^îa'î -f- ^v^oc" -\- etc. , série que nous avons représentée par.f», donc (pY ce = fa. De plus, on a \)^x = X, ce qui donne -J/Fa = Fa = ç^a*. Substituant dans les formules des numéros cités , on trouve la formule ci - dessus.
On résoudra facilement d'une manière semblable les exemples des n.°^ qo et Qi du mémoire de Lagrange, cité précédemment n.'' 269 : nous ne nous y arrêterons pas, l'équation ( 1 ) ci- dessus étant plus générale que celles dont part Lagrange.
La formule (2) coïncide avec celle que Giannella a donnée dans les mémoires de Turin , années 1784 et 1786 , page 462.
s86. Soient (pt et -^jt deux fonctions quelconques de t^ trouver la relation entre -^/t et (pt ^ c'est-à-dire exprimer •<\jt par une série dans laquelle entre la fonction (pt.
Ajoutant à ^ et en retranchant en même temps la quantité arbitraire a, on a ^t = -vKos -4- ^ — a) , et (pt =z (p(o6 -+• t — oc) ^ et faisant t — oc = x , la première de ces équations devient
•v|y^ = \Ka -H x) = -v^a-f-D-J/a. a: -I- p^^^. ^2 -\- p^-J/^.ar^ j- etc. , série que je compare avec la série A -\~ By: -^ Cx- -\- Dx^-^- etc. du théorème n.o Q57. La seconde des deux équations précédentes donne
(pt = (p(a + x) = (pa -4- Ti(poC'X -f- p^^p^.jja ^ p^^p^.x^ -h etc., partant, ^^ — <pa = D(pa<x -^ ^^pcc.x^ -\- ^'^(poc.x'^ -f- etc., que je compare avec la série at(C 4- yx H- ^x"^ -f- etc. ) = x^ du n.** 25^ , en faisant m =. i-, j'aurai xç=.(pt — (p« , ^ = v>(poc , y = ^^(pccj S = ^^Çce,
etc. Substituant dans la formule (iv) du numéro cité , on trouve
xj/a H- (D(pa)-».D\[y«. ((p^ — Çcc) H D{{D(pa)-2. D\|/a}. ((p^ — (pocY
"^ 3 P "^ 1 (i><pa)-^. D-J/a } . {(pt-^(pocf' -H etc. -4- - p'-^ { (D(pa5)-''. jy^oc) j . ((pt--(pccy -h etc.
Dans cette formule la quantité oc est arbitraire , et dans les dérivations on aura soin de regarder \p ^ et d (p a comme des premiers termes , ce qui fait que DD-vJ/flc sera = Qp^^^^ p^u^^ — Spo-vj/a^ etc. , tandis qu'il faut prendre p2(p«, p5(pa, p^cpa, etc. poumncpa, p2D(pQî, p^Dcp^, etc. respectivement.
287. Cette solution peut être employée à différens usages ; nous allons en indiquer sommairement quelques-uns.
Mettons , dans la formule ( B" ) , ^ au lieu de ce et t -\- /^t avi lieu de ^ , A étant la caractéristique des différences (finies), Çt — (pcc devient (p{t + A^ — (P^ = A<P^, et la formule prend cette forme
vK^ H- A^) = (G)
+ jp2{(D{p^)-5.D\|/^}.(A(p^)^-f-etc. H-^-p''-'{(D^^)-«.D\|/^}.(A^^)«+etc
Dans cette formule t varie par rapport à d de d ^ = 1 , et par rapport à A de A^, la différence A^ étant tout ce qu'on voudra ; dans les dérivations di^^ et ■v}/^ doivent être considérés comme des premiers termes.
Cette formule renferme le théorème connu de Taylor comme un cas particulier , qu'on obtient en faisant (pt = t : elle donne la solution du problème que Lagrange a traité au n.° qoo de la théorie des fonctions analytiques , et elle a l'avantage de présenter une loi de progression bien évidente. !Nos méthodes la développent avec facilité.
288. Si dans la formule (F) on fait ^a = o, ce qui suppose que ce soit une des racines de <p^ == o , la formule devient
■\iot -f- (D<pa)-».DN|/«.(p^ H DJ(D(pa)-*. D\)/a}.(<p^)2
+ TP'l(°^a)"^•»^^«i•(Ç'0^+ etc. 4--p''-»{(D{pa)-n.D\)/a5i.(<|)0'*-f-etc.;
256 DUCAliCUl.
et l'on aura autant de ces séries que l'équation (pa = o a de racines. Cette formule sert à convertir \|/^ien une série ordonnée suivant leç puissances de cpt; elle offre un cas particulier du premier des uages indiqués au n.° q63.
289. Si l'on a l'équation <^^ = o, la formule (F) devient, en y mettant o au lieu de (p^, ^^ ^__ ^Ij
— -^p2{(D^a)-3.D^)>aj.(<p«)3 -f- etc. ± — p«-^ j(D(pa)-«. D-J/a j • ((p»)" zp etc.
tout demeurant au reste comme au n.° q86. Cette série est remarquable en ce qu'il n'y entre d'autre quantité que «, qui est arbitraire.
290. Exemple. Si dans cette dernière formule (I) on suppose y^/ù = ^'■, elle devient ^
formule qui contient la solution de ce problème : « Étant donnée une équation quelconque (pt = o ^ Çt étant uiîe fonction de t algébrique ou transcendante; trouver une série qui donne non -seulement la valeur d'une des racines t, mais encore celle d'une puissance f de cette racine. » Ce problème fait le sujet d'un mémoire d'Eu le r , inséré dans le tome VI des noi^a Acta de Pétersbourg , sous le titre : Methodus generalis iiwestigandi radiées omnium œquationum per approximationem , et la formule que l'auteur trouve s'accorde au fond avec la précédente. Il observe qu'afin que la série devienne assez convergente pour servir à trouver la racine par approximation , il faut prendre pour l'arbitraire oc une valeur qui approche fort près de cette racine , et que dans ce cas la méthode ordinaire conduit au même but plus commodément. Aussi bien allons -nous faire voir que la méthode ordinaire peut être réduite à une formule qui coïncide avec la précédente (K), en faisant r = 1 dans celle-ci.
29 1 . La méthode ordinaire est celle que Nevi^ton a donnée dans son traité des fluxions ; Taylor y appliqua le premier le théorème qui porte son nom, et
rétendit
DBS DÉRIVATIONS. 267
retendit par là aux équations transcendantes {^Transactions philosophiques , tome XXX, pour 1717). Euler, dans le chap.IX de la 2.^» partie de son Calcul différentiel, et Courtivron , dans les mémoires de l'Académie des sciences de Paris pour 1744* la réduisirent en formule.
En partant de la considération de N ew ton, soit (pt =z o une équation donnée , et ce une valeur approchée d'une des racines , et soit p ce qu'il faut ajouter à la valeur de ce pour avoir cette racine ; on aura t = ce -\- p '. substituant a -4- yt? au lieu de t dans (pt = o , on trouve
^ Çcc = T>(peC'P -h ^^(poc.p^ + ^^Çcc.p^ -h etc. Comparant avec le n.° q 78 , on aura une série pour^ , laquelle ajoutée à oc donne
t = u — (D(pa)-».(pa H D(D(p«)-^((p£»)2 — -p2(D(pa)-3. (<p«)3-4-etc. ,
formule qui coïncide avec la formule (K) ci -dessus , si l'on y fait r = 1.
292. En considérant d'autres équations , on pourroit encore déduire différentes formules de notre théorème général ; mais celles qui précèdent suffisent pour faire connoître la manière de l'appliquer aux différens cas du retour des séries et des fonctions.
Nous n'avons pas cherché à exprimer les coëfficiens des séries précédentes en termes récurrens, c'est-à-dire en formules qui contiennent les coëfficiens précédens , la chose n'ayant aucune difficulté au moyen de nos méthodes. Si cependant on vouloit de ces sortes d'expressions , il suffit d'avertir que , tout demeurant comme dans le problème du n.° 2 55 et comme dans le théorème du n.o q57 , les formules (3) du n.° 255 donnent sur-le-champ
- bD.
