cy -h- d^xy -f- e^x^y -\- etc

x{ -{- ^'>2 |e"jry2 ^etc. ^ = 7ty{^^ -f- y'^ -4- J''^^ j« ^y ^ etc.)';

-f-e'"j3 |-etc.

H- etc.

tous les coëfficiens , ainsi que tt , étant des quantités quelconques , dépendantes ou indépendantes les unes des autres ; on propose d'éliminer x de la série (i) et de transformer celle-ci en une série ordonnée suivant les puissances dej^,

de cette forme - ^ , u ^ o,v^. /,. /\

<x 1- b^ 4 c^2 j t)^3 4 ey4 j etc. , ( III )

4 , t> , c , b , e , étant des fonctions des coëfficiens de (i ) et ( 11 ), dans lesquelles il n'entre ni x rii y.

294. Pour résoudre ce problème , représentons par une seule lettre chaque série en y affectée d'une puissance différente de x , ainsi qu'il suit :

'^ = ^ -f- ^y 4- ay- 4- etc. , '^ = ^ 4- cy 4- z>'y2 4- etc. ,

'C =C4-i)y4-£:'y2 4-etc. , 'Z) = Z)4- £^y -+- py^ 4- etc. , etc.,

'^ =:b -\-dy 4- ^'y^ 4- etc. , 'c = c 4- d^ 4- e'y^ 4- etc. ,

^d = ^ 4- ey 4- /'y- 4- etc. , 'e = e H- /y H- g^^ "+■ ^tc. , etc. ,

'^' = €" 4- y> -h è^y- 4- g"y5 -f- etc. ; au moyen de ces notations le problème est ramené à celui du n.*' 255 , car la série (i) proposée ci-dessus devient ^

'^4- ^Bx 4- ^Cx^ 4- 'Dx^ 4- etc. ,

DES DÉniVATIONS. sSg

et l'équation ( ii ) prend cette forme «

x('è -h 'cœ -\- 'dx^ -H ^ex^ -+- etc.)'' = ^rj.'^'S où -n est invariable. Comparant donc avec le théorème du n.° 25; , et mettant r au lieu de m et 'C'^.TTjy au lieu de xç;"^ o" J'» le théorème donnera

'A -H '^a: + 'Cx^ + 'Z)a:3 4- etc. = (v)

Yp2.('^-2r. jyJ^yÇ'Zs^ TjZyh } etc. H D»"-». ('/^- '"'■.D.'^).'^''"*.??'"^'' + CtC.

Il n'y a plus de x dans cette dernière série ; ainsi il suffit de la développer suivant les puissances de y ^ pour avoir la série (m). ;

Imaginons qu'on ait remis au lieu de ^Ay '^, '€" leurs valeurs (iv), il est visible qu'en développant suivant les puissances de^ , on aura, pour le coefficient de^" dans le terme général —'€'''"'. D'"-».('^-""'.D.'^).7r'"jK'"» l'expression suivante

où le signe d affecte -^ et ^ et leurs dérivées mais non ^' et ses dérivées , tandis que d' affecte tant A el b que Ç^ et leurs dérivées. D'après cela , il est

clair que dans ^A le coefficient de j" sera p'". A ,

dans 'b-^D.'A. '€''.7fy le coefficient dejK" sera p'«-i.{^^.^-'".D.^|.7r ,

dans — D.('^-9'-.D.i^).'^'2^;5'2j2 il sera ^^'''-\\C'^'.i}.{b~^':D.A)\.7r^y

dans j^^.{'b-^r^-D.A),'Ç'^',7F^yo ^p'«-3.{C'3'.p2.(^-3r.D.^)}.^3,

etc. ,

dans — p"-». ('^-«\D.i^ ).'€"«■'. Tj""/" — ë''''*p«->.(^-'"'. d.v^).??".

En rassemblant les expressions écrites dans la dernière colonne verticale, on a le coefficient a» du terme général cinjy" de la série (m). De là résulte le théorème suivant.

Je n'ai pas besoin d'avertir que l'équation Cii) fait voir que dans les dérivations I)', où la lettre change et l'accent, c', d" , e'" , /'^, etc. sont des dernières quantités.

260 , ^DUCAIiCUL

^ Théorème.

296. Étant proposées la série (i) et l'équation (11) du problème précédent n.° Q93 ; pour convertir la série (i) en une série ordonnée suivant les puissances dey et dans laquelle x ne se trouve plus , on aura la formule suivante

^ H- Bx -h Cr2 -+- JDjc3

-h B'j -4- C'xj -+- D'xy } C"y^ H- D"xy^ -4- -D'"j3

etc.

etc.

etc. > =

etc.

etc.

-h ^''.b-'.D.u^.Tf