VII
termes.
Corollaires.
296. I. Puisque les exposans r et ^ sont quelconques, on pourra changer r en — r, ou changer s en — s, ou changer à la fois r et ^ en — r et — s; on aura ainsi quatre formules différentes , y compris celle du théorème , lesquelles répondent chacune à des cas différens de retour de séries.
297. II. Tout demeurant comme aux n.°^ qqS et Q95, si la série à transformer , est simple , sans jy , c'est - à - dire si l'on a
^ -h Bx -i- C^2 | 2)^3 j- etc. , alors A n'a aucune dérivée d' , les termes d'. A , p'^. A , p'^. A , etc. p'". A disparoissent des formules (vi) et (vu) du théorème , et dans les autres termes de
ces
DES DERIVAT ION 5.
ces formules d' n'affecte plus A^ de sorte que A y est constant par rapport à d' et variable seulement par rapport à d.
298. III. Si la série à transformer est double comme au n.^agS, mais si l'équation (11) du même numéro se réduit à la suivante x{b-^cx-[- dx^ + ex"^ -f- etc.y = tt^ (C' -4- 7'y H- «^''^^ -|- g' y -f- etc.)'; ... (viii) alors on aura la même série que dans le théorème , avec la limitation que d' n'affecte point b , qui n'est plus variable que par rapport à n.
2x9g. IV. Enfin, si la série à transformer est simple, savoir A H- Bx -\- Cx^ -{- Dx^ 4- etc. , et qu'on ait en même temps l'équation
x{h H- rx + dx-^ -h ex^ + etc. y = Ttyifi -H 7'^ + (^'"j^ j etc.)*, où les X et les y sont séparés , alors d' dans la formule (vi) du théorème ne peut affecter que €"', et les autres quantités sortiront de dessous de ce signe. Ainsi la formule deviendra
A -f- Bx H- Cx^ -h Dx^ -H etc. = (ix)
A-^b-'Ti,A, C'. 7t. J -H b-'-D. A. d! g"^ 7f
et le terme général de cette série sera
etc. ,
'I.p2.(^-3r.D.^).p'«-3.C'3^7r54-etc.... + ^— p«-3.(M«-2XD.^).p'2.^^^^^
H — p«-2. (^'-(«-O'-.D. A).ii', ^' («-!)'. TF"-^ -+- — p«-^(^-»^D•.y^). C'"'. 7r"\
où y^ , b et S' sont des premiers termes.
Puisque les coëfficiens de j sont séparés de ceux de x dans l'équation précédente , on peut omettre les traits dans le second membre et écrire simplement €* -H y JK + ^J^ + c^c. , et partant supprimer aussi le trait qui affecte d' dans les formules que nous venons de trouver.
Quant aux développemens ultérieurs des formules que nous venons de
donner depuis le n." 295 , ils n'ont aucune difficulté après ce qu'on a vu
dans l'article III.
(IV
Appliquons maintenant le théorème précédent n.** 296 et ses corollaires au retour des séries doubles et des fonctions à deux quantités. On peut tirer de ce théorème un grand nombre de conséquences , mais nous nous bornerons à quelques- unes, qui suffiront pour en faire voir la fécondité et la manière de l'appliquer. _______
3oo. Étant donnée l'équation générale d'un degré quelconque ,
on demande la valeur de la racine 00, exprimée en y, c'est-à-dire les valeurs des coëfficiens de l'équation
œ = i>j -\- cy^ -\- t)j^3 j ey4 -f- etc. (2)
C'est le cas de Leibniz, qu'on trouve dans le tome III de ses œuvres, page 366.
bx
-\- cx~
-h dx^ H- ex4 -f- etc.
-H éxy
-\- d^x'^y H- éx^y -f- etc.'
-1- d^^xy^ -f- e"^^2 .4 etc.
î- ^"^3 4 e"/^^3 ^ etc.
H- e'^4 ^ etc.
-h etc. ;
Je mets l'équation proposée sous cette forme
ex
dy
.j(^'l o'y 4-^"y H-e'V4-etc.)j
dx"^ -\- ex^ -{- etc.
d^xy -+- e^x'^y -f- etc.
^l -t- ^'^2 ^ e"xy2 | etc.
-h etc.
+ etc.
comparant avec le théorème, n.*'^ agS et QgS, on aura, puisque x remplace ici toute la série (i), A = o ^ B = d.A = 1 , et toutes les autres dérivées de ^ = o ; ensuite , en comparant la dernière équation ( 3 ) avec l'équation (11) du n.o Q93 , on aura r=i , 7^ = — 1,^=1, C'-t- y"y -4- S"y^ -+- etc. =
etc. Ainsi la formule (vi) du théorème donnera celle-ci
cy
d"'y^ x=: — b'.l?'Ky —D'.Çb'.b-^)
y2 p'2. (^'.^-ij
H- d'. (^'2. in. ^2)
-f-p'2.(^'2.iD.^-2)
etc.
DES DÉRIVATIONS. a6S'
formule dont la loi est manifeste , et dans laquelle le terme général est — p'«-i.(/^'.^-») H- p'«-2.(^'2. i-D.^-2) — p'«-3.(^'3. 2 ç2.^-3)^, etc. ) ±:p'2.(^'«-2. —i — p«-5'.^-«+a)q3D'.(^'«-i. i — p«-2.^-«+i)Hz:^'«. ip'»-!.^-» (
3oi. Voici les premiers termes du développement réduit de cette série; on peut le continuer aussi loin qu'on voudra par ce quia été dit aux n.°^ 1 78 et i5o.
— y^{b-\ d^ — 3b-4c'.c) — Qb'c'^. b'^C
H- b'{b-^e"' - b-^'ic'd^' -h b-^c'^) + c"(b-^d" - b-^c'^)-h- d"',b-^c' - e'^.^-' - b'^[b-^.e" - 3b"^c'.d' -{3b-Ad" - 6b'^c'^).c] - 'ib'c'Xb-^-d' - 3b-^c'.c)
'^b'^(b-^J-^b-5c'.d\ - ib-K2cd'-i-^b-^c'.c^) 4- 3b'^c"(b-^d^ib-^c^)
5 5 6 — Vk(b-^e b-^icd H '—zb-lc^)
-^V\b-">-f^ — b-^{<ic'e"' -h ^"2) -H Z'-43c'2^" — ^-5c'4] -H
c"{b-^e"' — ^-3qc'^"-+- ^-4c'3)H- d"'{b-^d>' — ^-V^) + e'^.^-»c'— Z^.^-'
- b'ib-\f" -3b-4c'.e" - {3b-Ad'^ - 6b-5c'^:),d'—{3b-Ae"'- 6b-^2c<d"-i-iob-^c'^)c]
H- è'3[è-4./" - 4è-V.e' - (4^-5^" -. ioô-<îc'2)./^ | - ib'^(2ce" -+- ^'2) Hlliè-6c'.Qc^'llMè-7c'2.c2]-f-3*V(è-4.e' - Ab-^c'.d] -ib-^.2cd'
H lli^-6c'.c2) H- (3b'^d"' -h 3b'c"^Xb'*d - 1^-5^2)
- y^[b-Kf - 5*-6c'.e I - -è-6(Qc.e' -+- 2^'.^) + ^-l^h-lc\2cd\
^'^h-7.3c^d^ - Mllé-8c'.c3] - 4^'3c"(è-5e - -^2C^ -+- ^*-7c3) Q. J-*^ 2 2. 3"^
-+- b'^[b-^f - ^b-7{Qce + d^) ^^b'^3c^d - Ël|l^è-9c4]
{ etc. }.j^6 | etc.
a64 Duci-Lcuii
3o2. La règle que Lbibniz a donnée est pour résoudre le problème en termes récurrens; notre «olution a l'avantage de donner les termes de la série indépendamment les uns des autres , avec l'expression du terme général ; comme cependant la solution en termes récurrens offre une loi simple au moyen de nos notations , et que Leibniz a supprimé l'analyse qu'il a suivie, nous allons aussi donner une solution en termes récurrens.
Puisque l'équation (q) n.° 3oo devient, en élevant à la puissance p, XV = \)PyP -H nM.jP-^^ H- D2. fri',j? + 2 ^ p3.tp.j,/»4-3 -+ etc. ; donnant à p successivement les valeurs 1,2, 3 , etc. , et substituant dans l'équation ( 1 ) , celle - ci devient ^
o = bh.y -4- bt.y"^ -f- hXi.y"^ ■+- h^.y^ -f- etc.
- W- j ^]^2.j2 j CD. b^.^S j cp2. ^2.j^4 4 etc.
H- dh'^.j'^ -f- ^D.b3./4 -f- etc.
\ ^^-hî)-^ eHj^4 + etc.
-^ y.y 4- c^h.y^ 4- c'D.b.jS | c'p^. b.j^4 + etc.
-f- ^'b^.^S f ^'D.b2.j4 -f- etc.
H- e' b3.j)^4 -f. etc.
H- etc.
rtv»t,l,-^.ii^ c".jK' -+- ^"b.^S |- ^"D.b.j4 +,etc.
■;-'*^-+-(^'V e"b2.yf -4- etc.
;-"'-Q,'-h etc.
