d^Ky^ H- e^^^1:>.y^ -f- etc

+ etc.

H- e'^.^4 -I- etc.

H- etc.

De là on tire, en égalant à zéro séparément les sommes des coëfficiens des diverses puissances de y ,

c" + c'fi -I- cb2 .,,

^ = zr -» ^^>

__ d^^^ 4- ^"b H- ^^ba -f- ^b3 -h c'D.b + cD.b»

__ e'^+e"'b +e"b3 + e'b3-l- eb4 +^"D.b +6?'D.ba + 6?D.b5 + c'p'.b + cp^.b» e -- -. ,- : — L ,

etc. : la

DES DERIVATIONS.

la loi se saisit facilement ; elle est élégante et simple. Ces formules donnent les mêmes résultats que la règle de Leibniz.

3o3. Leibniz traita le problème précédent à l'occasion d'un cas, beaucoup moins général , dont Moivre avoit publié une solution dans les Transactions philosophiques , tome XX, pour 1698, Voici ce cas.

Etant proposée l'équation

x{b -{- ex -\- dx^ -+- ex^ H- etc.) =jk(C' + y'y H- J'V + ^'^ -H etc.), on demande la valeur de a; en j^.

Il suffit de faire , dans le numéro 299 , r=i,^=i, 7f = 1 ^ A = o ^ B = n.A = 1 , et C, D^ E, etc. = 0; et la formule (ix) donne

etc.

(0 4- ip^^-3.g"5

Rien n'est si aisé que de faire les développemens réduits , car ici d n'affecte que b et d' que C' ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas. La solution de Moivre est en termes récurrens ; et il est aisé de voir qu'en supposant x = liy -\- cy^ j ^yS ^ lyk j etc. , on aura , en comparant avec le numéro précédent ,

ch'

b ^"1 ^ dh"^ — cD.b^

JV

eb4

Jd. t)3 — CD*, b*

etc. Ces formules développées coïncident avec celles de Moivre.

3o4. Dans le cas de Leibniz, c'est à-dire ayant l'équation (1) du n.<^ 3oo, on demande l'expression en y d'une fonction quelconque de a; et de / , représentée par -vK^jj), en supposant que cette fonction puisse se développer suivant les dimensions de x et de y.