p*(p(a,a')] "^.p'2{[D'(p(a,a')p.DF(a,a')J./^jI
+ ^DS[p*^(a,a')] ^D'{[D'(p(a,a')]*.DF(«,a')iJ.^^jK*"^'
+ tPM[P*^(«,«')]~ ^. [D'(pCa,a')]^. DF(û,a');.^5^*
Dans cette formule, p*(p(«,a'), T>'(p{a,a') et F(a,a') sont des premiers termes; de sorte que dans les dérivations on mettra p^ + ^ <p(a,a') , D^ + ^(p(^a,a') , etc. au lieu de Dp*(p(a,a') , B^^^(pCa,a'), etc. ; i^'^(p(a,a'^ ^ B'^(p(a,a'), etc. au lieu de D V(p(a,a') , p'2D'(p(a,a') , etc. ; mais DDF(a,a') , p2DF(a,a'), etc. seront Qp2F(a,a'), 3p3F(a,a') , etc. ; B^(pQa,a'') ne varie point selon d' , mais T>'(p(^a,a') et DF(a,a') varient tant selon d' que selon d. La formule n'est plus ordonnée, comme on voit , suivant les puissances entières de y,
524. Ayant toujours l'équation (p{c^u) = o, si l'on vouloit que la série pour F(/^, m) renfermât u au lieu de^; alors, puisque l'on a supposé u =.a} -^ y^ afin d'avoir y = u , il faudroit faire a^ z=. o dans les formules précédentes , après les dérivations effectuées.
Dans ce cas, 1.° les formules (®) et (S) donneroient F(^,w) en u y a demeurant quelconque , mais les séries ne seroient pas ordonnées suivant les puissances de w : on pourroit cependant ordonner ces séries suivant *les puissances de u , mais alors le coefficient de chacune de ces puissances seroit une série infinie.
284 D U C A li C U li
2.<* Si , en faisant a^ = o ^ on prend pour a une des racines de l'équation Ç) (^, o) = o , alors <p (^, o) sera zéro , et en supposant que (p (ù, o) = o n'ait qu'une seule racine t égale à «, la formule (S) ou (@) donnera pour F{t^u) une série qui sera ordonnée suivant les puissances entières positives de u.
3.° Si, a' étant= o , (p(^, o) = o a plusieurs racines égales chacune à a , alors la formule (3f) donnera pour F{t:,u) une série en m, mais cette série ne procédera plus suivant les puissances entières de u.
Le cas du présent numéro a mérité l'attention de Laplace , qui s'en est occupé dans les mémoires de l'Acad. des sciences de Paris , année 1777» pag. 120 et 121.
325. Si l'on a l'équation (pu = \|/m , où les quantités ù et u sont séparées , et qu'on demande l'expression de F^ par une série sans t; on voit que ce cas est compris dans celui du n.° 3 18 : ainsi les formules (©) , (§) , (S?) en donnent la solution. On observe que pour ce cas les formules (S) et (®) coïncident avec les formules (©) et (g) respectivement. On peut aussi tirer la solution du cas actuel, et avec plus de facilité peut-être, de la formule (ix) du n.° Qgg.
On résoudra encore d'une manière semblable à celle dont nous avons fait usage dans les n.*^^ 3 18 et suivans le problème plus général où l'on demande l'expression de F(^,w) sans ^, lorsqu'on a l'équation (p{t^u) z=z^\ju\ mais on peut regarder cette équation comme comprise dans l'équation précédente (p(^,w) =z o , (p étant une fonction quelconque : ainsi nous regardons ce cas comme déjà résolu.
326. Il s'offre encore un autre genre de questions ; ce sont celles où ayant autant d'équations que de quantités ^ , u, ^ , etc. , qui entrent dans une fonction F(^, w, v^ etc.), on demande l'expression de cette fonction par une série dans laquelle n'entre plus aucune de ces quantités ^ , m , v ^ etc. ; tel est le cas où l'on demande l'expression de F(/^, u) sans t ni u ^ lorsqu'on a les deux équations (p{t^u) =. o et -^{t^u) ■z= o. Mais ces recherches nous mèneroient trop loin , et nous regrettons de ne pouvoir nous y livrer.
327. Nous allons terminer ces applications en disant quelque chose des retours de retour des séries.
On propose de transformer la série
A H- Bx 4- Cx2 -h Dx^ -j- etc. (1)
en une série ordonnée suivant les puissances entières positives de z , lorsque
la
la relation entre x et z est donnée par les deux équations
Tfjr = œ{Ç -h yx -h ^x^ -h etc.y, (q)
'srz = j{b -h cj -h tj^ -h etc. y. (3)
C'est le cas d'un double retour.
Si Ton n'avoit que l'équation (2), et qu'on demandât pour (1) une série en y, le théorème du n.° q57 donneroit, en y mettant yfj au lieu de xç'^ ,
-f- etc. H p«-ï.(6'-'"»D.-^).7r"/" + etc.;
je représente cette série par
a -{- by -\- cy^ -f- dy'^ -h etc. + an.y^ -f- etc. , ( 4 )
de sorte que la question est réduite à transformer cette dernière série ( 4 ) en une série en z lorsqu'on a l'équation (3) ci- dessus. Le théorème du n.^ <xb^ donne encore
a + \>-^Tï,a.'œZ H D.(b-2''D. â!).'ZB-2 22 -}- — p2. (è-3ru. ^). ^323
H- etc. H p''-».(b-'"'D.^ï).'23^2» -t- etc. ,
ou , en développant ,
û^ H- ^.b-^-za-z -H i(Z»D.b-2'- + îc.b-2'-).zo-2 22
-f-' j(^p2.t)-3r ^ QCD.b-^»- + 3J.b-3r).^323 -}- etc.; et, en mettant pour ^, ^, c, d^ etc. leurs valeurs ci- dessus, on trouve
A H- ^j5 4- Cx2 -f- £)x3 j etc. = (5)
^ 4- D.^. g'-'». b-'-.7r.'5r.2 -h ^{D.^.Ç-'«.D.b-^^7r H-D.(d.^. g•-2'»).b-»^7r- j-ZST^-Z^ -j-|{D.^.^-'»p2.b-3^.^^U.(D.^.^-2«).D.b-3^7ï'2^-p2.(D.y^.C-3'»).b-3^^3j^3.23
(D.^.C-'«p3.b-4^;T+D.(D.^C-=^'»).p2.b-4^^2^.p2.(D.^.C-3'»).D.b-4^^^ 4244-PtC
