Étant données les trois équations
2 = 83^ -h (5/2 4 ^^3 ^ gj^4 -f. etc. , . (6) •
y =. '^cc -\- cx'^ H- ba;3 4- tx^ -+- etc. , ..... (7)
^ = ^(/ -| cf^2 j ^ç;3 } e(;4 -1- etc. , (8)
on demande à exprimer v par une série en z. C'est l'inverse du problème du n.«»65.
286 DUCALCUI,
La dernière de ces trois équations donne , par le n.® 2 65 , (^ = b'-^,x -\- ^D. ^-*..r2 ^ ip2. Z>-3. ^3 | i.p3. ^-4.:r4 + etc. ...(9) Je compare cette série avec (1) du numéro précédent, puis (7) avec (2), et (8) avec (3) ; ce qui donne ^ = 0, 0.^=^ = ^-1, C =zi^vt>h-^^ etc.; 7r = 1, m=\ , g'=b; •z!r=:i,r=i, 6 = 25; substituant dans la formule ( 5 ) , et développant on trouve
^-1. b-». ç3. SJ5-4 -f- (^-iD.b-a -h D. 3-^b-2)p2.g5-4 j
-f- etc.
La loi est manifeste, et les développemens ultérieurs n'ont aucune difficulté.
329. En revenant au retour des séries simples, nous allons rassembler dans cette division différentes observations , lesquelles serviront soit à répandre un nouveau jour sur ce qui précède , soit à présenter quelques théorèmes intéressans sur les dérivations , auxquels nous serons conduits principalement par les différentes voies que l'on peut suivre pour arriver aux formules du retour des séries.
33o. En comparant la formule (E*) avec la formule (E) , n.**^ 284 et q83 , nous avons trouvé un théorème sur les dérivations que nous allons simplifier et généraliser ensuite.
Si l'on suppose dans les numéros cités que la fonction F s'en aille; c'est-àdire , si l'on met l'unité au lieu de la caractéristique F ; et puisque <poc est une fonction quelconque , si l'on fait (poc = €", vtCpoc = v.C = y > p^^a = J*, etc. ;
on aura le théorème suivant
la dérivée dcc dans %]>« étant toujours = 1. Mais voici ce théorème généralisé :
Théorème.
33 1. Une fonction quelconque des deux séries suivantes, savoir
Ul H- (C-'"D.9l).jK + iD.(C-2'"D.2l).^2 -f- fç2.(Ç-3mD.2l).^3 4- etc. ) est égale à la série .....(q)
+ etc. -f- — p«-'. {^-«'«D. -4/(^,21 )}.j'» H- etc.
Démonstration, Soient les deux séries quelconques , finies ou infinies ,
A -h Bx -{- Cx^ H- Dx^ -+- etc. , 2t 4- S5.r -i- dx^ -+- t>x^ -{- etc. , converties chacune en une série qui procède suivant les puissances de j^ , JK étant = x{Ç -h yx -h Sx^ H- gx3 -+- etc.)»" , comme n.** 25; j je représente ces séries transformées par
^ -4- ^jK -f- cj2 | jy3 j etc. , a -h hj -h cj^ -{- b j' f- etc. , et j'aurai l'équation
\(;{^ -i-Bx-h Cx^ -+- Dx^ -+- etc. , 2( -H S5a; + (la;^ -{- ^x^ + etc. j = \|> { « + fy -^ cj^ -f- <fy3 -h etc. , a -h-ty -h cj^ -4- bj^ ■+- etc. j . En développant le premier membre de cette équation , on le trouve égal à
•vK^,5ï) -+- D.\Ky^,2ï).a; ■+- Ç2.^(^^2i).^2 | etc., série , qui , par le n.<^ 25; , en mettant yp{Ay^l) au lieu de A dans la formule (iv), sera égale à
•vK^,5l) -f- e-'«D.yi^{yiy^).y -4- fD. j^-2«D.^I>(^,3t)Î.JK^ -h eto. Donc cette dernière série , égale au premier membre de l'équation ( 3 ) , sera aussi égale au second membre de la même équation : ainsi , en mettant pour a, b, etc. , a^ h, etc. leurs valeurs en ^ et 21 , on a le théorème qu'il s'agissoit de démontrer.
Ce théorème et sa démonstration s'étendent aux séries de la forme de celles des n.*"^ Q 95 , 3 1 Q et 3 1 3. En voici deux corollaires qui nous serviront tout à l'heure.
532. Corollaires. I. Donc s'il n'y a qu'une seule série , on aura
>P{^-HC-'"D.^.7-l-iD.(g'-2«D.^).J)^2 ^ J.p2.(^-3mi3.^).j3|etC.}=:
^A 4- Ç-^D.-vP^.jK-hfD. (C-i^D.-J/^^jK^ H-ip2.^ç^3«p.^^).^3 4 etc.
