II. Si l'on a la fraction

A H- ^-'«D.^.J -h ^D.{Ç-2«„.^).j^2 ^ jp2.(g'-3mD.^).j3 f etc.

91 -f- g'-'«D.5l.j -H ^D.(^-2mo.3i;.j -+- |p2.(g'-3«D.at).jK3 | etc.' puisqu'alors •v)^(^,3ï) devient A%-^; on aura, pour cette fraction, la série ^5«-i4-^-'"D.(^i«-»).jK4-xD.jg'-*'«D.(^2t-0S.j2 + yp^.{^-^'«D.U2l-i)J.j3 + etc.

334. Nous allons comparer la formule que nous avons obtenue n." 70 pour la somme des puissances des racines d'une équation quelconque , avec celle que donne le retour des suites pour la puissance d'une seule de ces racines; ce rapprochement servira à répandre plus de jour sur les séries trouvées.

Soient a, ê", y, $, etc. les racines de l'équation

a.x*^ — bx*"-^ — cx^"^ — dx^-"^ — etc. — kx — - l = o . . .(1) ec étant la plus grande de ces racines, C^ y , 7^ ^1 ^t ainsi de suite ; on aura , par la théorie des équations

ax'^ — bx""-^ — c.r'«-2 etc. — I = a{x—cc){x — C){x — y)(x — S)X etc. ..(q) Les racines de l'équation

.• a ^- bx — cx'^ — d:j^ — etc. — kx^-^ — Ix"^ ■= o . .(3)

seront les réciproques de celles de l'équation (1). Si donc on désigne par a, b , c , b , etc. les racines de cette dernière équation ( 3 ) , a étant la plus petite ,

et 0 <C c ) c <C ï» j etc. ; on aura a = — , \> =. — ^ c=— , î> = -jrï etc. , et

oc b y 0 ^

a — bx — CvX2 — dx^ — etc. — Ix^ = a(^i x)(i x){i x) X etc. ..(4)

Pour s'en convaincre il suffit d'observer que l'équation {4) résulte de l'équation

( Q ) , si dans celle - ci on met — à la place de x , et qu'on multiplie par x'".

Si l'on désigne par Sr et <B-r les sommes des puissances r et — r des racines de ( 1 ) et de ( 3 ) , c'est - à - dire , si l'on fait

Sr = oc' -h^ C' -h y' -h etc. , @r = - + ^^ + -^ H- etc. ,

on trouvera, comme n.<' 69, en prenant les logarithmes,

log(^ — bx — cx^ — etc. — - /x*") = log« — Si.x — ^S^.x^ — jSz-x^ — etc.

(5) =log^ — @i.x — 7@^2-^^ — y@-3.a:3 — etc. ,

et en développant log(^ ^ bx — cx^ -- etc.) comme au n." 70 , on aura

Sr=:<Q..r^ (6)

a-r^T | ^^-'■4-iD.^''-' H — ^ï-'' + 2p2.^-a H- etc. H a-^T^'-^.h\

ou bien, puisque (n.° q68) -£-ç«.^-'-« = — p«-».(^-«D.^-'-) , et, en mettant — r au lieu de r, p«. Z»'-« = — p«-i.(^-''D. ^'■) , on a aussi

Sr = @-r = ....•(7)

^ l b-iD.h\a -4- ^D.(^^*D.^'')-^^ H- yp=*.(^-'D.^'')-^^) ^ etc. H ^p''-s. (^-'■+>D. ^0. â^'^-' l '

série qui n'a qu'un nombre fini de termes.

335. De ce que dit Newton dans son Arithmétique universelle , en traitant des limites des équations numériques, on infère ce qui suit.

Puisque les mêmes puissances de quantités inégales diffèrent d'autant plus

les unes des autres que ces puissances sont plus hautes ; si r est un nombre

considérable, la puissance od^ surpasse non -seulement chacune des puissances

^'j y, etc. , mais encore leur somme ^"^ -\- Y "+" ^'^^' ^ s'ensuit de là, que si

l'on tire la racine s de Srs = «''* -f- Ê"" -H y''' -h etc. , {SrsY sera une valeur

approchée de ce'' y c'est-à-dire de la puissance r de la plus grande racine de

l'équation ( i ).

Cette méthode d'approximation a l'avantage de ne pas exiger qu'on connoisse

d'avance une valeur déjà assez proche de la plus grande racine , et elle fait

connoître la valeur de ce'' d'autant plus exactement qu'on fait s plus grand.

Nous allons la réduire en formule , et par là la faire servir aussi aux équations

littérales.

A cet effet , je change r en rs dans la série (7) ci- dessus j je compare avec

le n.o 33q , et faisant w = i, Ç=:^,^ = <z, A = ^", vpy^ = ( b"y = ^S

la formule de ce n.<* 332 donneroit pour {SrsY ^^ série suivante, qui va à l'infini , (b^-\^ b-^n.b^a H- 7D (b-^j}.b'-).a^ -H ^^^.{b-^n. b'),a^ \ 1 -+- etc. -\ ç»-^(3-''D. £''■).«* -+• etc. t. ^ ^

si la série (7), après y avoir mis rs au lieu de r, alloit à l'infini : mais comme elle n'a qu'un nombre de termes fini et dépendant de s y il en résulte que la

3Q0 DUCAIiCUi.

formule du n.** 332 , qui suppose que la série de son premier membre aille à

l'infini , donnera , dans le cas actuel , la série précédente ( 8 ) , moins une

autre suite infinie de termes , qui ne commence qu'après un certain nombre

de termes de ( 8 ) réglé sur «s , et qui par conséquent est dépendante de ^ ,

et diminue lorsque j augmente. De là on conclud que , puisque ^ n'entre pas

dans (8) , et que partant cette série (8) est indépendante de s , elle est la partie

indépendante de s dans la valeur de (SrsY.

Mais, d'un autre côté, si l'on représente (SrsY par («*'"-+- P^^y •, P"^ étant

= C" -H y" -f- J*'" -+- etc. , et qu'on développe par la régie du binôme , on a i 1 P^r 15-1 {P^y iS^y = oc^ -\ -, r • • -^7 — —^ H~ etc. ,

où a*" est le seul terme indépendant de s , les autres variant avec s et diminuant lorsque s augmente. Donc la série (8) continuée à l'infini est rigoureusement égale à a^

Puisque — ç'"-*.(^-'"d. ^'■) = p'».^'"-'", il est clair que la série (8)

peut aussi se mettre sous cette forme :

J/ J\r. -I^yi,h^-y,a +— ^p2.^'--2.a2 +-Il--p3.3'--3.^3 +etc. +-p'-».^.a''-»

+ rp'.log^.a'' — -p'"+i. ^-•».âf''+» p'"+^^-2. «'•+» etc.

et cette série n'est autre chose que la série (6) , pour Sr , continuée à l'infini.

Quant à Téquation (3) , a — hx — cx"^ — etc. — Ix^ = o ; puisqu'on a vu que l'on a « = a-* , partant a' = a-*", il s'ensuit que la série (8) où (g) qui donne la puissance r de la plus grande racine de l'équation ( i ) , donne la puissance — r de la plus petite racine de l'équation (3).

Comparons maintenant avec le n,°26g. On voit qu'en changeant les lettres grecques en françoises, la série (5) du n.° Q69 peut se mettre sous cette forme

^ j M- etc. -+- — ©«-'.(^-"D.^"'")-^" M- etc.

et en mettant — r au lieu de r, elle CQÏncide avec la formule (8) ci-dessus. On tire de tout cela cette conclusion remarquable i i.** La même série qui donne la somme des puissances r des racines d©

OESDéRIVATIONS. StQl

l'équation ax^ — hx^- * ' — ex"-* — etc. — / = o , si on ne la continue que jusqu'à ce que les exposans de b deviennent négatifs , donne la puissance r de la plus grande racine , si elle est continuée à l'infini.

2.° La même série qui donne la somme des puissances — r des racines de l'équation a — bx — cx^ — etc. — Ix*" = o , si on ne la continue que jusqu'à ce que les exposans de b deviennent négatifs , donne la puissance — r de la plus petite racine, si on la continue à l'infini.

3.0 La série qu'on obtient par le retour des suites pour la puissance r d'une des racines de l'équation a — bx — cx^ — etc. — Ix^ = o , donne la valeur de la puissance r de la plus petite de ces racines.

La première partie de ce théorème a été observée par Euler , dans le tome XV des noi^i Commentarii de Pétersbourg, pag. 58 et suivantes , mais il ne l'a démontrée qu'imparfaitement.

Il suit encore de ce qui précède , que pour avoir la puissance r de la plus grande racine de l'équation ( 3 ) , a — bx — cx"^ — etc. — îx"^ = o , il faut écrire l'équation à rebours , de cette manière ,

Ix"^ -f- kx^-^ -h ix'^-'^ -H etc. -\- bx — a = o ^ puis, la comparant avec l'équation (i), faire ^z = /, ^ = — h^ c = — z, etc., k = — b, l = a, et la série (8) ou (g) donnera la plus grande racine de cette équation ( 3 ) : ou bien , ce qui revient au même pour le fond , il faut diviser l'équation (3) par a;"», ce qui donne

/ -+- kx-^ -+- ix-^ -h etc. -h ^0:-*"+* — ax-"^ = o, et comparant cette équation avec l'équation (4) du n.° 26g , y faire 06 = — /, C= k , y = i , etc. , K = b , A = — ^; et changeant x en x"^, la série ( 5 ) du n.° 269 donnera la valeur de x-''.

Un des principaux usages auxquels on emploie les formules que nous a données le retour des séries simples , c'est de les faire servir à trouver par approximation toutes les différentes racines des équations : nous pourrions à présent faire voir comment les formules (i) du n.° 276 et (2) du n." 285, entre autres , servent à cet usage : mais ces applications , quoique fort importantes , s'écartent de notre sujet , et nous ne pouvons que renvoyer aux §§ III et IV du mémoire de Lagivange cité ci -dessus (n.° 269).

336. Si de la série* (6),n.°334, qui donne la valeur de a'-t- ff*" -f- y''+ etc. , ou de a-' •+- b-»" -H i"'' -H etc. i on soustrait la formule (9) , n.° 335 , qui

292 DUCÀLCUL

donne celle de «5' ou de a-'^, on aura le théorème suivant

Çr ^ y ^ ^r | gtc. =:=: ^-r ^ ^-r ^ ^-r ^ gtc. =

'^j + etc. -+- — p'' + n.^-«.a« + etc. ( ^ ••(^^)

série remarquable qui donne la somme des puissances r de toutes les racines de l'équation (1) , excepté de la plus grande; ou la somme des puissances — r de toutes les racines de l'équation (3) , excepté de la plus petite.

Si , ayant une équation numérique , on calcule un nombre de termes de cette série ( 1 1 ) suffisant pour pousser l'approximation assez loin , et qu'ensuite on extraie la racine r ou — r du résultat numérique , on peut parvenir au moyen de cette série, à trouver la valeur approchée de la racine ^de l'équation ( 1 ) , c'est -à- dire de la plus grande racine après oc , ou la valeur de b , la plus petite racine après a de l'équation ( 3 ).

337. Nous allons encore faire voir comment on peut s'assurer que les formules de retour de séries simples que nous avons trouvées plus haut se rapportent aux plus petites racines de leurs équations.

Puisqu'on vient de voir , n.° 335 , que la série ( 5 ) du n.® QÔg donne la valeur de la puissance r de la plus petite racine de l'équation ( 4 ) du même numéro ; en faisant r = 1 , on a

a;=ajC-^4rC-»D.Ç-ï.a4-fD.(Ç-2D.^-i).a=^ + TP^-.(C-3D.Ç-0.a2 4 etc.î, série qui, en faisant oc=jy , coïncide avec (a) du n.° 265 : ainsi la série de Newton pour le retour des suites donne la valeur de la plus petite racine de l'équation dont elle est le retour.

En divisant par a la série précédente et prenant la fonction (p de part et d'autre, on a ^

^);(-) = ^^{ê'-^ + Ç-iD.g'-i.a -f- iD.(g'-2D. g"-!). ^52 | etc.}, et, en faisant dans le n.° 332 ^ = C"^ , m =z 1 , on trouve

^K-) = n|>(C-0 h- C-^D.-vKC-O-a -4- f D.(C-2D.^KC-0).a^ -H" etc.,

série qui, en changeant ce en y y coïncide avec la formule (e) du n." 272, si dans cette formule on fait 771 =z i. Donc cette formule (e) donne encore

oc une fonction quelconque, vK— )» de la plus petite racine x de l'équation

JîES DERIVATIONS. zgS

y =: Ç.r + yx^ -f- <^^^ ■+- etc.; car , en prenant ci -dessus la fonction <p, on ne change rien à l'espèce de la racine oc.

Supposons, pour donner un exemple numérique, qu'on veuille se servir de la formule (4) du n.° 273 pour calculer le logarithme naturel de 10, et que pour cet effet on fasse :c=io; ^" = 0,1; y = — o, 00g ; ^, g , etc. = o ; ce qui réduit l'équation k y = x {Q -h yx) y laquelle donne j^r = o, 1 : on trouvera, par la formule (4), logo; =o,io536, tandis que le logarithme naturel de 10 est 2,3oq58. Il ne faut pas en être surpris, car l'équation y == x{C -h- yx) y ou 0,1 =0,1. a; — 0,009.0^2, a deux racines , savoir x == 10, et o; = ~\ et la formule (4) se rapporte à la plus petite racine -^, dont le logarithme naturel est en effet o,io336.

La formule (b) du n.** q66 se rapporte aussi à la plus petite racine x. Pour le faire voir, je mets l'équation proposée au n.° q66 sous cette forme

oc = {i — Ç)x — yx^ — èx^ — ëXÂ — etc. ; comparée avec l'équation a z= bx -\- cx^ H- dx^ -H etc. , elle donne , pour la plus petite valeur de x, .

X = {i-Ç)-Kec -+- i-D.(l-e')-2.a2 | ip2.(i^)-3.a3 ^ etc. Or cette série coïncide avec la série (b) du n.° q66, laquelle est

X = oc -+- ^D.a;2 | |p2.^3 4» ^J-pS. «4 | etc. ; on s'en assurera facilement , en développant chacune de ces deux séries en C et en ordonnant suivant les puissances de oc- Donc la formule (b) donne la plus petite racine de l'équation

X = ce -h- €x -{- yx^ H- Sx"^ -H etc. Il nous sera facile à présent de faire voir que la formule (D) du n.° 282 où l'on fera j =. 1 , se rapporte à la plus petite racine t de l'équation c — oc — (p^ = o.

En effet , en mettant oc -h- x au lieu de t dans cette équation , elle devient X = (pcc H- nCpU'X ■+- ^^Çcc-x- -H ^^Çcc-x'^ -f- etc., et, en la comparant avec l'équation x = <t -i- Cx -{- yx"^ + etc. ci-dessus, on aura , pour la plus petite valeur de o: , la série

X =^(pcc 4- iD((pa)2 + tPH<P«)^ + i^^i<Pet)^ + etc.; donc , puisque t z=cc -h x, la plus petite valeur de x répond à la plus petite valeur de ^; on a donc pour la plus petite racine ù de l'équation ^— a — <p^=o, ù := oc -h Çoc -^ Îd((P«)2 + ip2((pci5)3 | i.p3(^a;)4 -j- etc.

Prenant de part et d'autre la fonction \j/, et comparant avec le n.** 332, où Ton fera^=: «, C= (pcc, ?n= — i , on a \|y^ égale à la série {D) du n.°Q82 , pourvu qu'on y fasse ^ = i. Donc, puisqu'en prenant la fonction \j/ , on ne change rien à la nature de la racine ^, il s'ensuit que la série (U) se rapporte à la plus petite racine £ de t — « — (pt = o.

On peut appliquer ces raisonnemens à d'autres des formules trouvées , pour examiner si elles répondent à la plus petite racine.

338. Lambert a le premier donné pour x'' une série en coëfficiens de l'équation à trois termes o = a:*" — l?x'"-^ — p; pour la démontrer, dans les mémoires de Berlin, année 1770, page 227, il cherche d'abord l'expression des sommes des puissances s et s -+- r des racines ; puis , divisant la seconde de ces sommes par la première , il trouve une série pour la puissance r de la plus grande racine de l'équation trinomiale proposée. Nous allons étendre ce procédé à une équation d'un nombre quelconque de termes.

Reprenons l'équation (i) du n.° 334 » ^t dans (7) mettons successivement s et s -h r au lieu de r , et nous aurons

(l,s-hr | ^-iD. ^* + ^^ H- JD.(3-aD.^' + '"). âJ2 | etc.)

H D'+ '■-2. CZ'-*-'^+iD. Z'^ + '^X «* + '■- '^

hs ^ b-^iy,bKa 4- ^ii.{b-'^-D. b').a^ H- etc.

Comparant avec le n.° 333 , en faisant 771= 1 , C==: b , y4 = b' + r^ 2( = ^',

partant ^21" ^ = b'' , d. (^. 21-*) = n.b' y la formule du n.° 333 donneroit

encore la série (8) ci -dessus, si le numérateur et le dénominateur de (11)

alloient à l'infini ; mais comme ils n'ont l'un et l'autre qu'un nombre de termes

fini et dépendant de s, la formule donnera la série (8) moins une autre suite

infinie de termes qui ne commence qu'après un certain nombre de termes

dépendant de 5, et qui diminue en valeur, lorsque s augmente : donc la

partie indépendante de s sera ici, comme n.° 335, la série (8). Or dans

Ss^r ' ot'-^' -H Q'-^^ H- v^^*" -f- etc. , , • ir 1 j

— m- = '- le seul terme indépendant de s

^s a' -h C^ -H 7' H- etc. ^

est oJ , ainsi qu'on le voit en effectuant la division. Donc la série ( 8 ) est égale k oC>

DES DÉRIVATIONS. ^ 2qS

Si l'on renverse la fraction ( 1 1 ) , afin d'avoir la valeur de -s— ^ — , et que

l'on compare avec le n.** 333 , en faisant m=i , C=^i A = b* ^ 21 = ^* ■+■'", par conséquent ^21-^ = b-^ ^ d. (^21""^) = n.b-^ , on démontre, d'une manière semblable, que l'on aura la série (g) du n.° 335 rigoureusement égale à a"'' ou a^ "

On arrive donc par cette voie au même théorème, auquel des considérations un peu différentes nous ont conduits ci-dessus n.° 335.

339. Cela nous mène naturellement à la méthode que Daniel Bernouilli a donnée pour résoudre par approximation les équations numériques dans le tome III des anciens Commentaires de Pétersbourg et qu'EuLER a développée dans le chapitre xvii de son Introduction à l'analyse des infinis.

En effet, si l'on différentie l'équation (5) du n.° 3^4, en faisant varier oc et divisant par d^ , on a

— ^ — Qc.x— 3df,r2 — etc. —mlx^~'^[.z=. —Si — Sz.oc—S'5.œ^ — etc.—S„.x'^-^ —etc. a — bx — cx^ — dx^ — etc. — Ix"^ ( = — @i - @2. x - @3. x- - etc. - @„. a;" - ' - etc. Ici la fraction est génératrice d'une série récurrente ; son dénominateur est le premier membre de l'équation ( 3 ) , et son numérateur ce qu'on obtient en multipliant chaque terme de cette équation (3) par son exposant et divisant par X. Si l'on calcule d'une manière quelconque les coëfficiens de x"~^ et de a;" du développement de cette fraction , on aura , en représentant ces coëfficiens par y^„ 1 et A„ ,

Mais Sn^x divisé par Sn approche d'autant plus de «, et @n i divisé par ©n de a-', que n est un plus grand nombre. Donc An divisé par An-x approche d'autant plus de la plus grande racine de l'équation ( 1 ) , que dans la série récurrente on prend des termes plus éloignés du premier. En divisant au contraire An-\ par An^ le quotient approchera de a~* ou a, c'està dire il donnera une valeur d'autant plus approchée de la plus petite racine de l'équation ( 3 ) , que n sera plus grand.

Cette analyse a l'avantage de déterminer le numérateur de la fraction génératrice de la série récurrente, c'est-à-dire de déterminer les premiers termes de cette série que Bernoulli et Euler ont laissés indéterminés.

2g6 DUCALCUli

Elle fait voir que si Ton applique la méthode de Bernoulli ainsi déterminëô aux équations littérales , et qu'on la réduise en formule , elle donnera la même formule que le retour des séries.

340. En rapprochant des numéros qqo et 291 ce que nous venons de dire depuis n.° 334, on en* tire la conséquence, que 1.*^ la méthode ordinaire de Newton pour augmenter l'approximation vers une des racines d'une équation , en substituant dans une même équa\ion les résultats des substitutions précédentes; 2.*^ celle que présente le calcul différentiel, ou celui des dérivations n.° 291 et n.° Q90, en réduisant en formule lé résultat général de ces substitutions ; 3.° celle par les formules du retour des séries ; 4.° celle où l'on emploie la somme des puissances des racines et que Newton indique dans son Arithmétique universelle, et 5.° enfin, la méthode de D. Bernoulli, par les séries récurrentes , ne sont au fond qu'une seule et même méthode, parce que leurs résultats , réduits en formules , offrent les mêmes séries : les trois dernières ont l'avantage de ne pas exiger que l'on connoisse d'avance une valeur approchée de la racine et ne demandent pas de substitution préliminaire. Dans la pratique concernant les équations numériques , la dernière de ces méthodes , par les séries récurrentes , avec les déterminations indiquées ci- dessus , nous paroit la plus expéditive et la plus facile à employer.

34 !• Revenons au problèrfte du n." '255, en y supposant cependant, pour plus de simplicité, m = 1; mais prenons, pour Je résoudre, une voie différente de celle que nous avons suivie , et résolvons d'abord la question suivante par les procédés ordinaires du calcul différentiel.

Soit V une fonction de t, on demande à exprimer (Ç){t 4- A^) par une série ordonnée suivant les puissances de Ai^ , mais sans que v entre dans les coëfficiens de cette série ; A est la caractéristique des différences.

Puisque l'on suppose v fonction de ^, on a par le théorème de Taylor

df d^c / d.^ i^

^ + A, = , + g.A. + —-^ . {Aty H- ^ ^ 3 ^, . {At)3 + etc. ; ..(.)

on a aussi , par le même théorème , '

(p(^+AO^(p^+^/'A^-f-^^^J^^^^.(AO^ ^ i.2^.Td^5-(^^)^ + ^^^- -C^) De plus, puisque v est fonction de ùy donc réciproquement ù est fonction de

DES DERIVATIONS. 297

¥; représentons cette fonction par fç', on aura ^= fç', et à cauS^e que, lorsque V croit de Af } ^ croit de A^, on a ^ -H A^= f (*' -H àv) , et <p (^ + A^) = <pf (v H- A^ j on a donc aussi, en développant,

<p(. +A.) = ^f.H-^-fl . A. + S.- (M= + j;^2iî^.(Av)3^-etc. ..(3)

Je remarque que dans les séries ( i ) et ( q ) d^ est constante et dv variable ;

dans la série (3) au contraire, dv est constante et d£v = dt est variable.

Il â'agit maintenant d'exprimer les coëfHciens de la série (3) en coëflfîciens -

des séries ( i ) et ( q ).

^ ^c ^ . d0h d<p£v dfç' p

On a (pti' = (pt-f ensuite —^ — = —jr — '-5— > et parce que iv =z t ^

d<pf^ d0l: dt d(bt 1 „ . dv ,

—4- — = -T" j— = T • -ï- • En faisant -r- = p , et observant que

dv dt dv dt dv dt ^^ ^

— j^ — dérive de — -? , et — p^^— de — ^ — , etc. , de la même manière

dv^ dv df5 ^ç,2 » '

que — T dérive de (p£v , on trouve , en écrivant -rr <p^ au lieu de -37-1

pour plus de commodité ,

- (piç = (pt, à0£v d

dv ^ d^ ^ ' .0

d2^ft/ d / . d ^ V

d^cpEv d , d , d ..

d4(pfv d , d , d . d ,..

et ainsi de suite. La loi est manifeste.

Comme d^ est constante dans les seconds membres , on peut y faire partout d^ = 1 , sans y introduire aucun changement , et sans rien ôter de la généralité de ces expressions ; on aura donc aussi , pour les coëiïïciens de la série (a) ,

dcpft/ ,

-^=p-.d(pf,

etc.