Maintenant , si Ton a l'équation

j z= Coc -i- yx^ -h $x^ H- g-324 -4- etc. , „ (6)

et qu'on propose de convertir la série

^ H- J5x -h Cx^ 4- Z).x3 -+- Ex^ -h etc. (7)

en une série qui procède suivant les puissances de y , savoir ,

a -\- by -\- cy^ -^ dy^ l ey4 -f- etc. ; ..... (8)

on n'a qu'à comparer ces séries avec .( i) , (q) et (3) du numéro précédent,

ce qui donne A^=jk, 57=/^ = ^» TTàt^~ ^' ®*^* * •^ = ^^» ^ =

y; t C = ^î-; — , etc. ; a = (biv . h = — f — , c = -^ — , etc.

Donc , en passant des différentiations aux dérivations , les formules ( 5 )

donneront , ,

etc.

Mais on aura soin d'observer, que, puisque -p est le coefficient du second terme

dans l'équation ( i ) , € doit ici être regardé dans les dérivations comme un second terme, comme égal à d. a; de sorte qu'on fera (n.° iqi) d. ^ = Qy , D. «y = 3(î, D. (^ = 4£, etc.; on regardera aussi d.A comme un second terme; et les dérivations s'exécuteront par la méthode du §. l.^^ de l'article premier.

543. Ce cas étant compris dans celui du problème du n.° '255 , il suffit de £aire m = 1 et xs = y dans le théorème du n.*^ 25; pour avoir une autre

DBS D^RIYATXOKS. SI99

solution ; la comparaison de ces deux solutions donne le théorème suivant.

Th^^orème.

On a toujours

et généralement

g"-' étant répété tz fois dans le premier membre de cette dernière équation. Pour effectuer les dérivations dans les premiers membres de ces équations , on emploira la méthode non simplifiée du §. I.^"^ de l'article premier , en considérant C et D. -/^ comme des seconds termes. Mais dans les seconds membres , qu'on développera par les méthodes simplifiées , il faudra considérer C comme un premier terme et t).u4 comme un second terme.

Il n'est pas rare de trouver des formules de la forme des premiers membres de ces équations , et le présent théorème sert à les mettre sous une autre forme , plus simple et plus facile à développer.

344* Corollaire. Si l'on fait d. -^ = i , on aura -^^-D.(C-'D.^-) = tP^.C-5,