Q. 3. 4 et généralement
pourvu qu'on regarde Ccomme un second terme d. a dans les premiers membres,
et comme un premier terme dans les seconds membres.
On se tromperoit si l'on croyoit qu'on a aussi , sous la même condition ,
--^CD.(CD.C) = yp2.C3, j-^^j— CD.(5'o.(^D.C))=ip3.^4, etc.;
ainsi qu'il est aisé de le voir en développant.
3oo
DU CALCUIi
345. Suivons encore une voie différente pour résoudre le problème du n.® q55 y en supposant, pour plus de simplicité, que tu soit == — 1 , de manière que ce problème se ramène à l'énoncé suivant : Étant donnée la série
A -+- Bx -\- Cx^ H- Z)x3 -f- Exi\ -4- etc. , .....( 1 )
on propose de la transformer en une autre de la forme
a ^ bj -\- cy^ H- dj"^ -}- ey'^ -H etc. , (0)
la relation entre ^ et^ étant donnée par l'équation
fX
dV=
etc.
L'équation (3) donnant
X = f(C + B.Ç.x -h ^^.Coc2 -H pS.g*. a?3 -4- etc.), (4)
et x'- = y^C -H D. ^^ ^ H- ç2. çr, ^2 | p3. çr, ^3 4 etc. ) ; (5)
on voit qu'il suffit d'éliminer x de la série (i); à cet effet, on peut substituer dans(i) à la place de x et de ses puissances les valeurs qu'offrent les seconds membres de ( 4 ) et de ( 5 ) , et l'on aura un résultat mêlé de j^ et de :c , dans lequel on fera de nouveau des substitutions pareilles à la place de x et de ses puissances; et en continuant ainsi on obtiendra une suite de termes affectés dejK> JK^jJK^j 6tc. , c'est-à-dire les premiers termes de la série (q). Cette manière est ce qu'on appelle la méthode des substitutions successives. On peut la simplifier et la rendre bien propre à faire trouver la loi que suivent les coëfficiens b, c, d^ e, etc. , par le procédé suivant.
Après avoir donné à la série ( 1 ) la forme
^ ^- Bx -h D.B.x^ -+- ^^.B.x^ -}- ç3.^.^«4 4- etc., (6)
ou. B est considéré comme un premier terme, je tire de l'équation (4) celle-ci
1 = a3-'j(g'-f- D.C^ -H B^.C.a:^ 4- çS.g-.^S | ç4. g". 0^4 4- etc.) ; ..(7) je multiplie le premier terme -/^ de la série (6) par 1 , premier membre de (7), et tous les autres termes de ( 6 ) par le second membre de ( 7 ) ; de cette manière la valeur de ( 6 ) ne change pas , et j'ai
A + C^.j -f- Çn. B
xy
xy -f- C^^.B x^y -4- D.C p2.^ H- n^Ciy.B 4- ^^\€.D.B
etc.
«vnression
DES DÉRIVATIONS. Soi'
expression qu'on peut mettre sous la forme suivante (n.°87), en regardant
£ et C chacun comme un premier terme ,
^ + ^B,y -f- j}.{CB).a:y -i- i^^'.{CB).œy -+- ^\(CB).x^j -H etc. ..(9) Je multiplie à présent par 1 les deux premiers termes de (9), et les termes
suivans par le second menibre de (7), «et j'ai
+ etc. , ...(10)
•^ H-etc. ..(iq)
J.J2 + C^^iCB) -\-jy.e.^\{CB) -^^^.C.jy.{CB)
et en considérant jy.(ÇB) et Ç comme des premiers termes, je puis encore mettre cette série sous la forme suivante ,
A-^CB.j-\-SB.{CB).y--\-B.(CTi.{^B)).xy^ + ^^.{CTi.{eB)).xy^- -H etc. . .(11) Je multiplie maintenant par 1 les trois premiers termes de (11), et chacun des autres termes où x entre encore , par le second membre de (7) ; ce qui donne ^ l- CB.y -+- Cd. {QB).y^ -H f d. {CD.{CB)).y^ + CD\{Cj>.iCB))
En regardant encore d. (€'d. {i^B)) comme un premier terme , le coefficient de
xjy"^ dans ( iQ ) peut prendre la forme d. (€"0. (Cd. (g'-ô))) ; et en multipliant par
1 les quatre premiers termes de ( 1 Q ) , et les suivans par le second membre
de (7), j'ai
a -^ hy -\- cy^ -h dy^ -f- ey4 -H etc. =
A-^QB.y -^^D.iÇBly^- -^CD.{CD/CB)).y^ -^-ÇD.{Ci).(ev.{ÇB))).y^-hetc. ..(i3)
La loi qui règne dans ces coëfliciens de (i3) se présente d'elle-même; et si
l'on fait attention à la marche du procédé, il est visible qu'elle s'étend à
tous les coëfficiens suivans.
Ce cas se résoud aussi par la formule (iv) du n." 259, si l'on y fait w= 1 et ^ff-' =yj et en comparant les coëfficiens de ^^,^^^^3^ etc. que donnent les deux solutions , on arrive à ce théorème :
On a toujours
^p-(^p-(^p.(^^))) = ip^-(^^»--^. (14)
et généralement
fp-(fp-( €'p.(Ç5)...)) = ^r-'-(«'°-°-^)î
302 dugalcul.
pourvu que dans les premiers membres on regarde toujours ce qui suit chaque D comme un premier terme indépendant , de sorte qu'en développant on prenne toujours les dérivées divisées , en écrivant p^, au lieu de d. d. , p3. au lieu de D. p2. , etc. C'est pour cette raison que , contre notre usage ordinaire , nous avons mis le c au-dessous de t*us les d , quoiqu'ils n'aient chacun que l'indice i. ^^ et ê" au reste sont aussi des premiers termes. Dans les seconds membres ê" est toujours un premier terme et d. A un second.
346. Ayant la même série (1) que dans le numéro précédent, et l'équation
j^ = x(g' -h yo; -H (Ja;2 H- gcr3 H- etc. )-'", (i5)
on met cette équation sous cette forme
1 = ^-*jk(^ H- y^ + ^x,"^ H- boc^ + etc.)'», ou , en développant ,
1 == x-'^yij^"' + ■Q.l^'^.x -f- p2.^m.^2 ^ p3.g'«.x5 -4- etc.), ...(l6) et en procédant comme nous venons de le faire dans ce qui précède , on trouve la série ( 1 ) égale à
A -f- ^"^B.y -h C'"ç.(ê''«^).j2 H- ^'«p.(^'"p.(^'»^)).j^3 |-etc. ...(17) Cette solution, comparée avec celle du n.» 259, donne ce qui suit.
Théokème.
On a toujours
^'"p.(C'»p.(Ç'"^)) = jp2.(^3mi,.^),
e'"p.(ê''"p.(^'"p.(^'»^))) = ip5.(^4'»D.^), j^^^^
etc. et généralement
En développant les premiers membres il fatjt regarder B et €''" comme des premiers termes , et encore comme un premier terme tout ce qui suit chaque p ; c'est-à-dire, mettre partout p^. au lieu dcD.D. , p3. au lieu de B.p^. , etc. On n'exécute les multiplications par ê''" et par ses dérivées qu'après avoir fait la dérivation p. Dans les seconds membres €" et -^ sont des premiers termes.
547. Ce théorème s'applique à tous les cas précédens depuis n.<^ 341 ; car en réfléchissant au procédé que nous avons suivi , il est évident que , dans (i5) et dans les formules (18), m peut être quelconque positif, négatif^
DES DÉIVIVATIONS. 3o3
fractionnaire , etc. Ainsi , en faisant m successivement = — i et = i , et B = B.A = 1 , on a , sous les conditions du théorème ,
etc. etc.
Comparez avec le n.° 344.
348. La forme des expressions précédentes et l'usage particulier que l'on y fait du signe ç se retrouvent dans le problème suivant , qui est d'un genre différent de ceux que nous avons résolus jusqu'ici. Transformer la série
A -^ Bx -{- Cx^ -H Dx^ 4- Ex^ + etc. ( i )
en une autre de cette forme
bx cx"^
^+ yx + h^- + etc. (g"+ yo; 4- Ja;2 + etc. )(ê'' + y'x + J'a;^ + etc. )
dx^ (C+ yx+h"" + etc.)(^' + ya:+ «^'0:2+ etc.)(C" + y"a; +J"x2 +etc.) "^®^^'
Je représente la série (q) par
^r -t- bxç-^ -h ca:2ff-'^'-i -+- dx^g-^ ç'-^ ç^'-^ + etc. (3)
Puisque ( 1 ) est égale à ( 3 ) , x étant quelconque , on a d'abord ^z = ^ ; et après avoir ôté A d'une part et a de l'autre , et divisé par x , on trouve B-^ Cx-h Dx^ 4- Ex"^ -h etc. z= ^s:- » -f- cxg- >?'-»-{- ^or^^- » ?'- ' 5-"- » -f- etc. ; je multiplie le premier membre par la valeur de g et le second par ç même ,
et j'ai ^B -+- p. (ê"^). a: -|- ç^. (CB).x-^ + etc. = Z» -î- cory'-^ -{- ^/^V"^ ^"-» 4- etc. Donc b = CB. Après avoir ôté CB du premier membre et b du second , je divise par x^ puis je multiplie le premier membre par la valeur de g' et le second par g' même , et j'ai
rp-CC^) -f- p. (C'p. {CB)).x -f- p^.(rp. (CB)), x^' -h etc. = c -+- dxg"-^ h- etc. Donc c = C'^*(^B). En continuant ainsi, je trouverai les valeurs de ^, e, etc. , telles qu'on les voit ici
b = CB, e = r-p.CÇ-p.C^'p.Cê^^))),
c = ^'g.(C5), etc.
c A r. c u li
La loi est évidente. On aura soin de regarder ce qui suit chaque p comme un premier terme indépendant , et par conséquent de mettre d^. au lieu de D. D. , p3. au lieu de d. p^. , etc.
EuLER, dans la seconde partie de son Calcul différentiel, chap. viii, a résolu ce problème pour les cas des facteurs binômes C-h yx <, C H- y'x^ etc. , et pour celui des facteurs trinômes : il l'est ici pour des facteurs polynômes quelconques , avec l'avantage qu'on arrive facilement à une loi simple.
Les quantités €",7, ^, etc. , €"', y', S'i etc. ,ê'", y", J", etc. étant arbitraires, on peut aussi se servir de la solution précédente , et même en quelque sorte avec plus de généralité que de celle du n." q5 7 , pour rendre une série convergente à volonté.
349. Les formules de cet article conduisent quelquefois à des théorèmes qu'on fera bien de recueillir pour s'en servir dans l'occasion. En voici un qui peut servir d'exemple.
Si dans la formule (iv) du n.° q57 , on met au lieu de ^ sa valeur S -{- yx <Sx^ -+- etc. , partant au lieu de j'"'" la série C"" -h n. g''"'", x H- p^. C""» x^ -f- etc. , et qu'après les substitutions on ordonne suivant les puissances àe x ; il est clair qu'on doit retrouver la série A + Bx -h Cx^ -f- etc. On aura donc A -{- £x -h Cx2 H- Dx^ 4- Ex^ H- etc. =
etc.
-H jD. (d. a. C-"'")' p2. ^2m H- j p2. (d. ^. g*- 3«). D. ^3«
, +ip3.(D.^.C-4'«).Ç4«
ce qui donne , pour le terme général , le théorème suivant :
On a toujours quels que soient ^ , S et 771 , Ç étant même arbitraire ,
D.y^.g'-'»p''-i.^'» + 7D.(D.^.ê'-2'").p"-^ê'2'" -1- fp2.(D.^.g'-3«).p«-3.Ç3«
H- etc H î — P" -^ (d. y^.g'-(«-0'"). D.^(«- '> -H i pn-'. (d. ^.^-««). C"^ ;
et le n.° Q5g fait voir qu'on peut échanger entre eux — m et -h m.
