ARTICLE SIXIÈME

Usages des dérivations dans le calcul diffèrentîeL

350. Les quantités a, Ç, y, et etc. qui entrent dans les dérivations ne dépendent pas nécessairement les unes des autres , elles peuvent être quelconques ; on voit donc que les cas où ces quantités elles - mêmes sont liées entre elles , soit en dérivant réellement les unes des autres , comme les

différentielles à.x , — ^— , etc. , soit autrement , sont compris dans le cas

général des dérivations ; et qu'ainsi le calcul différentiel peut être regardé comme un cas particulier de celui des dérivations. Comme nous avons donné des méthodes abrégées pour faire les dérivations , nous allons en montrer l'application aux différentiations ; elles serviront à simplifier la pratique du calcul différentiel , principalement dans les cas où les différentielles des variables sont elles-mêmes variables.

35 1. Commençons par appliquer aux différentiations des fonctions à une seule variable les méthodes si^iplifiées de dérivation des §§. II et III de l'article premier.

Pour le faire avec plus de clarté , il ne sera pas inutile de montrer , mieux que nous ne l'avons fait jusqu'ici , les relations des dérivées avec les différentielles, et de fixer l'idée exacte qu'on doit attacher à celles-ci dans la vraie théorie du calcul différentiel.

Soitj^ une fonction quelconque de x, qu'on peut représenter par cpx , que l^y marque la différence entre l'état primitif àe y ^ et ce que devient cette même fonction lorsque la variable x augmente de la quantité quelconque ^x : nous nommons Aj^ la différence entière , ou simplement la différence, ou V incrément àe y. On Si couXwaxe d^3L^^Q\QT t^y\a. différence finie-, mais comme il convient de bannir tout ce qui a rapport aux idées vagues d'infiniraentpetits, nous croyons devoir omettre la qualification die finie.

La différence de la fonction^ étant égale k (p{x •{■ /Sx) — (p x ^ on a, par les n.*'^ Q et lo ,

Aj = ii(px.lSx H Z--.(Air)2 H ^.(Aa;)5 + etc., •..•(»)

ou bien, par les n."^ 3 , lo et 39 ,

3o6 DUCALCUL

^y = B.j.Ax -4- p2.^.(Aa:)2 -j- p3.jK.(Aa:)5 -f- etc. , (2)

où B(px dérive de (par, D^^po: de j)(px, Ji^(px de 02^0:, toujours par la même loi. Les différentielles de la fonction y sont les termes des différens ordres qui composent la série égale à la différence t^y. Ces termes , si l'on en supprime les dénominateurs numériques 1 . (2 , 1 . q . 3 , etc. se nomment simplement différentielles ; et nous proposons de nommer différentielles divisées ces mêmes termes de la série de (Sy , en conservant leurs dénominateurs numériques. Ainsi en particulier

D^x.Aor ou ji,y.[S.x est la différentielle première de ^x ou v, D2<|)a;. (Aa:)2 ou D^.^.fAa:)^ est la différentielle seconde.,

D^^par. (A:r)3 ou d^,^. ( A a? )3 est la différentielle troisième^ etc. etc.

■D'^Cpx

(Aa:)2 ou ^"^.y.i^tsxY est la différentielte seconde divisée, (Aa;)3 ou ç3,j/. (Aa:)^ est la différentielle troisième divisée,

etc. etc.

On voit que dans l'acception dans laquelle nous prenons le mot différentielle , il signifie simplement un terme , une portion de la différence ; et que , comparées aux dérivées , les différentielles ne sont autre chose que les dérivées multipliées par les puissances respectives de la quantité A a: , par rapport auxquelles on ordonne le développement de <p(x4-Aa:). Les différentielles, pour nous, sont toujours de véritables quantités, finies, assignables, et non des infiniment -petits, ni même des limites (*).

352. De même qu'on se sert de la notation Isy pour marquer la différence entière de j^ , on est convenu d'employer les notations ày , à'^y , à^y , etc. pour marquer ses différentielles successives , d étant une simple caractéristique ; on a ainsi

dj = D<pa:.Aa;, à?y = D2<pa:.(Aa:)2, à^y = jy^(px\l^xf ^ etc. ..(3)

et Ar = dy H d^y -I d^r H r-— d4y -i- etc. . .(4)

On a aussi généralement Ax = dar H -d^x + etc. ; mais si àx n'est

(*) Ce qui est dit des différentielles non divisées dans ce numéro et dans le suivant est extrait de mon Essai sur des principes de calcul différentiel et de calcul intégral indépendans de la théorie des infiniment, petits et de celle des limites , mémoire qui fut présenté en 1789 à l'Académie des sciences de Paris.

DES DERIVATIONS. 3o'7

plus variable , d^x , d^x , etc. sont zéro , et l'on a àx =: dx : changeant donc A en d dans les équations (3), elles deviennent

dy = Ji(px.dx, d^y = n^cpx.dx^ , d^y = o^^pa:. da:^, etc., ••.(3)

Pour simplifier et pour nous conformer à l'usage reçu , nous écrivons dx^, dx^, djr" au lieu de (da:)^, (dx)5, (da:)", nous le ferons tant qu'il n'y aura point d'équivoque à craindre , et alors nous indiquerons la différentielle de a:"* par ^{x^).

Les expressions ji(pxAx, n^^px. da:^, etc. ont sur celles-ci d^o^.Ao:, ii'^(px.{^xY y etc. l'avantage de faire connoître par elles-méme qu'elles ne représentent pas des différences entières, mais seulement des différentielles.

On tire des équations (5) celles-ci

où les seconds membres T>(px, D^(px, D^(px, etc. , et partant aussi les premiers, sont des fonctions de œ sans A a? ou do;, c'est-à-dire des quantités indépendantes de Ax ou d^. On a nommé ces expressions (6) des rapports différentiels, des co'èffîciens différentiels ; comme elles sont précisément la même chose que ce que nous avons nommé jusqu'ici des dérivées , nous leur conserverons ce dernier nom. Substituant ces expressions dans la série (i) de Ajj^, et dénotant par y' la quantité y -4- /Sy , c'est-à-dire , ce que devient y lorsque X devient x + A.r, on a

c'est le théorème de Taylor.

Comme -^* , -^ , etc. dans cette série sont indépendans de Ax et de dx dx^ ^

dx, il est clair qu'il n'est pas nécessaire que dans cette série dx soit égal à y^x , dx peut être tout ce qu'on voudra , pourvu que dans dy , dy , etc. on prenne pour dx la même valeur ; on pourroit donc aussi regarder dx comme

= 1 dans -^ , -r^ , etc. , ainsi que nous le faisons à l'égard de i>x dans D(px,

T>^(px , etc. ►

Pour éviter les expressions fractionnaires , nous proposons d'introduire dans le calcul différentiel , pour désigner les différentielles divisées , des signes semblables à ceux qui nous ont si bien servi jusqu'à présent pour les dérivées

divisées : nous proposons donc d'écrire dy au lieu de — ^, d^y au heu de

^yv

3o8 D U C A L C U li' •

— ^ , et en général ^"j au lieu de =^-— , le dénominateur indiqué par

le c au-dessous du d étant partout le produit de tous les nombres naturels depuis 1 jusqu'à n qui est égal à l'indice de d, tout de même que n.°3g.

Nous désignerons même à l'avenir les coëfïiciens différentiels , , -h — «

^ do: i.Q.dx^'

. J , „ . dx étant invariable, par ô(pa;, ^^(Sa;, ^^(Do;, etc., ce qui est